Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Um pacote com a mistura da casa contém 300 gramas de café colombiano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com a mistura especial contém 200 grams de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 100 grams de café tostado tipo francês. Um pacote com mistura gourmet contém 100 gramas de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 200 gramas de café tostado tipo francês. O comerciante tem 30 quilos de café colombiano, 15 de café queniano e 25 de café tostado tipo francês. Se ele deseja usar todos os grãos de café, quantos pacotes de cada mistura deve preparar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse probleminha de mistura de cafés! A gente tem três tipos de pacotes de café que o comerciante vende: Casa, Especial e Gourmet. Cada um desses pacotes usa diferentes quantidades de café colombiano, queniano e tostado tipo francês. O objetivo é descobrir quantos pacotes de cada tipo ele precisa fazer para usar exatamente toda a quantidade de cada tipo de café que ele tem. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especificamente um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar:
  • Seja o número de pacotes da mistura Casa.
  • Seja o número de pacotes da mistura Especial.
  • Seja o número de pacotes da mistura Gourmet.

Passo 3

Agora, vamos analisar quanto de cada tipo de café é usado em cada pacote:
  • Mistura Casa:
    • 300 gramas de café colombiano
    • 200 gramas de café tostado tipo francês
  • Mistura Especial:
    • 200 gramas de café colombiano
    • 200 gramas de café queniano
    • 100 gramas de café tostado tipo francês
  • Mistura Gourmet:
    • 100 gramas de café colombiano
    • 200 gramas de café queniano
    • 200 gramas de café tostado tipo francês

Passo 4

Sabemos que o comerciante tem:
  • 30 kg de café colombiano
  • 15 kg de café queniano
  • 25 kg de café tostado tipo francês
Vamos converter esses valores para gramas para facilitar:
  • 30 kg = 30.000 gramas
  • 15 kg = 15.000 gramas
  • 25 kg = 25.000 gramas

Passo 5

Agora, vamos montar as equações baseadas no uso de cada tipo de café:
  1. Café Colombiano:
    300x + 200y + 100z = 30.000
  2. Café Queniano:
    200y + 200z = 15.000
  3. Café Tostado Tipo Francês:
    200x + 100y + 200z = 25.000

Passo 6

Vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 100:
2y + 2z = 150
Ou seja:
y + z = 75
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação y = 75 - z para uma das variáveis. Vamos isolar :

Passo 8

Com o valor de 300x + 200(75 - z) + 100z = 30.000 em termos de 300x + 15.000 - 200z + 100z = 30.000 , vamos substituir na primeira e terceira equações:
Primeira Equação:
300x - 100z = 15.000 (1)
Simplificando:
200x + 100(75 - z) + 200z = 25.000
200x + 7.500 - 100z + 200z = 25.000
Terceira Equação:
200x + 100z = 17.500 (2)
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
300x - 100z = 15.000 (1) 200x + 100z = 17.500 (2)
Vamos somar as duas equações para eliminar 300x - 100z + 200x + 100z = 15.000 + 17.500 :
500x = 32.500
x = 32.500500 = 65

Passo 10

Agora que sabemos que 300(65) - 100z = 15.000 , vamos encontrar 19.500 - 100z = 15.000 usando a equação (1):
-100z = -4.500
z = 4.500100 = 45

Passo 11

Com y = 75 - 45 = 30 , podemos encontrar usando :

Resposta

O comerciante deve preparar 65 pacotes da mistura Casa, 30 pacotes da mistura Especial e 45 pacotes da mistura Gourmet para usar exatamente todos os grãos de café disponíveis.

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