Um comerciante de café vende três misturas de grãos. Um pacote com a mistura da casa contém 300 gramas de café colombiano e 200 gramas de café tostado tipo francês. Um pacote com a mistura especial contém 200 grams de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 100 grams de café tostado tipo francês. Um pacote com mistura gourmet contém 100 gramas de café colombiano, 200 gramas de café queniano e 200 gramas de café tostado tipo francês. O comerciante tem 30 quilos de café colombiano, 15 de café queniano e 25 de café tostado tipo francês. Se ele deseja usar todos os grãos de café, quantos pacotes de cada mistura deve preparar?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse probleminha de mistura de cafés! A gente tem três tipos de pacotes de café que o comerciante vende: Casa, Especial e Gourmet. Cada um desses pacotes usa diferentes quantidades de café colombiano, queniano e tostado tipo francês. O objetivo é descobrir quantos pacotes de cada tipo ele precisa fazer para usar exatamente toda a quantidade de cada tipo de café que ele tem. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especificamente um sistema de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis para facilitar:
  • Seja o número de pacotes da mistura Casa.
  • Seja o número de pacotes da mistura Especial.
  • Seja o número de pacotes da mistura Gourmet.

Passo 3

Agora, vamos analisar quanto de cada tipo de café é usado em cada pacote:
  • Mistura Casa:
    • 300 gramas de café colombiano
    • 200 gramas de café tostado tipo francês
  • Mistura Especial:
    • 200 gramas de café colombiano
    • 200 gramas de café queniano
    • 100 gramas de café tostado tipo francês
  • Mistura Gourmet:
    • 100 gramas de café colombiano
    • 200 gramas de café queniano
    • 200 gramas de café tostado tipo francês

Passo 4

Sabemos que o comerciante tem:
  • 30 kg de café colombiano
  • 15 kg de café queniano
  • 25 kg de café tostado tipo francês
Vamos converter esses valores para gramas para facilitar:
  • 30 kg = 30.000 gramas
  • 15 kg = 15.000 gramas
  • 25 kg = 25.000 gramas

Passo 5

Agora, vamos montar as equações baseadas no uso de cada tipo de café:
  1. Café Colombiano:
  2. Café Queniano:
  3. Café Tostado Tipo Francês:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 100:
Ou seja:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação para uma das variáveis. Vamos isolar :

Passo 8

Com o valor de em termos de , vamos substituir na primeira e terceira equações:
Primeira Equação:
Simplificando:
Terceira Equação:
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 10

Agora que sabemos que , vamos encontrar usando a equação (1):

Passo 11

Com , podemos encontrar usando :

Resposta

O comerciante deve preparar 65 pacotes da mistura Casa, 30 pacotes da mistura Especial e 45 pacotes da mistura Gourmet para usar exatamente todos os grãos de café disponíveis.

Exercícios relacionados

Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespaço, solução do sistema linear homogêneo:
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de :
Dadas as afirmações abaixo:
Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no .
Para qual valor de , os vetores e do são linearmente dependentes?