Ache a equação da reta l paralela a r e s, contida no plano sigma: x-z=2 e que seja equidistante de r e s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de geometria analítica, mais especificamente sobre retas no espaço tridimensional. A gente precisa encontrar a equação de uma reta l que é paralela às retas r e s, que está contida no plano sigma: x - z = 2, e que seja equidistante das retas r e s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, planos, paralelismo de retas e distância entre retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas r e s. A reta s está dada de forma paramétrica:
s: l x = 4 + t y = -2 + 2t z = 4 + t
Aqui, t é o parâmetro. Isso significa que a direção da reta s é dada pelo vetor direção vs = lang<= 1, 2, 1 rang<=.
Já a reta r está dada por x = y = z. Isso pode ser reescrito em forma paramétrica também:
r: l x = t y = t z = t
Então, o vetor direção da reta r é vr = lang<= 1, 1, 1 rang<=.
Passo 3
Agora, queremos que a reta l seja paralela a ambas as retas r e s. Para isso, o vetor direção de l deve ser paralelo aos vetores direção de r e s. Isso significa que vl deve ser uma combinação linear de vr e vs.
Vamos verificar se vr e vs são paralelos. Se não forem, vamos encontrar um vetor que seja paralelo a ambas.
Como o produto vetorial não é o vetor nulo, as retas r e s não são paralelas. Para encontrar uma reta l que seja paralela a ambas, precisamos que o vetor direção de l seja paralelo a algum vetor que seja paralelo a ambas, ou seja, precisamos que as direções sejam colineares. Isso, porém, não é possível a menos que as retas sejam paralelas, o que não é o caso. Portanto, precisamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 4
Desculpe pela confusão anterior. Na verdade, se queremos que a reta l seja paralela às retas r e s, isso implica que as direções de r e s devem ser colineares, ou seja, múltiplos um do outro. Vamos verificar isso.
Claramente, vs não é um múltiplo escalar de vr, pois não existe um número k tal que 1 = k cdot 1, 2 = k cdot 1, e 1 = k cdot 1 simultaneamente. Portanto, as retas r e s não são paralelas, e não existe uma reta l que seja paralela a ambas.
Passo 5
Parece que houve um mal-entendido no enunciado do exercício. Talvez a intenção seja encontrar uma reta l que seja paralela a uma das retas, digamos s, e que seja equidistante das retas r e s, estando contida no plano sigma: x - z = 2.
Vamos seguir essa interpretação. Vamos procurar uma reta l paralela à reta s e que esteja no plano sigma, além de ser equidistante das retas r e s.
Passo 6
Primeiro, identificamos o vetor direção da reta s: vs = lang<= 1, 2, 1 rang<=. Como a reta l será paralela a s, ela terá o mesmo vetor direção.
Agora, vamos encontrar um ponto que esteja no plano sigma: x - z = 2 e que a reta l seja equidistante de r e s.
Passo 7
Para que a reta l seja equidistante das retas r e s, o ponto de l deve estar no meio do caminho entre r e s. Podemos encontrar um ponto médio entre um ponto de r e um ponto de s.
Vamos escolher t = 0 na reta s:
s: l x = 4 y = -2 z = 4
Então, o ponto é Ps = (4, -2, 4).
Na reta r, podemos escolher t = 2:
r: l x = 2 y = 2 z = 2
Então, o ponto é Pr = (2, 2, 2).
O ponto médio M entre Pr e Ps é:
M = ( 2 + 42, 2 + (-2)2, 2 + 42 ) = (3, 0, 3)
Passo 8
Agora, precisamos verificar se o ponto M = (3, 0, 3) está no plano sigma: x - z = 2.
Substituindo as coordenadas de M na equação do plano:
3 - 3 = 0 neq 2
Portanto, M não está no plano sigma. Vamos ajustar nossa escolha para encontrar um ponto que esteja tanto no plano sigma quanto equidistante das retas r e s.
Passo 9
Vamos parametrizar a reta l como:
l: l x = x0 + t y = y0 + 2t z = z0 + t
Queremos que l esteja no plano sigma: x - z = 2. Substituindo as equações de l na equação do plano:
(x0 + t) - (z0 + t) = 2 x0 - z0 = 2
Portanto, a condição para que l esteja no plano sigma é x0 - z0 = 2.
Passo 10
Além disso, queremos que l seja equidistante das retas r e s. Para isso, precisamos encontrar um ponto P = (x0, y0, z0) que esteja a mesma distância de r e s.
A distância entre dois pontos no espaço é dada por:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Vamos calcular as distâncias de P para r e para s e igualá-las.
Passo 11
Para a reta r, qualquer ponto é da forma (t, t, t). A distância de P = (x0, y0, z0) para r é dada por:
dr = |vr times PrP||vr|
Onde PrP é o vetor que vai de um ponto de r a P. Vamos escolher o ponto (0, 0, 0) em r para simplificar.