De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de R^3 :
(1,0,1),(0,-2,6),(1,-3,1),(4,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar se o conjunto de vetores forma uma base para . Para resolver isso, precisamos entender o que é uma base: um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço . Vamos precisar verificar se esses vetores cumprem esses dois critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço tem dimensão 3, ou seja, qualquer base dele deve ter exatamente 3 vetores. Aqui, temos 4 vetores. Por definição, não pode haver uma base com mais vetores do que a dimensão do espaço, porque isso geralmente resulta em vetores que são combinações lineares uns dos outros, ou seja, não são linearmente independentes.

Passo 3

Para confirmar isso de forma mais rigorosa, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar o posto dessa matriz. Se o posto for igual a 3 (a dimensão de ), isso indicaria que os vetores são suficientes para gerar o espaço, mas como temos mais vetores do que a dimensão, inevitavelmente haverá dependência linear.

Passo 4

Vamos montar a matriz:
A = 1 & 0 & 1 & 4 0 & -2 & -3 & 1 1 & 6 & 1 & 2
Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada e verificar se há pivôs em todas as colunas necessárias.

Passo 5

Após realizar operações de linha (como subtrair a primeira linha da terceira para eliminar o primeiro elemento da terceira linha), percebemos que o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos três primeiros. Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente dependentes, isso significa que não formam uma base para .

Resposta

O conjunto de vetores não forma uma base para .

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