De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar se o conjunto de vetores forma uma base para . Para resolver isso, precisamos entender o que é uma base: um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço . Vamos precisar verificar se esses vetores cumprem esses dois critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço tem dimensão 3, ou seja, qualquer base dele deve ter exatamente 3 vetores. Aqui, temos 4 vetores. Por definição, não pode haver uma base com mais vetores do que a dimensão do espaço, porque isso geralmente resulta em vetores que são combinações lineares uns dos outros, ou seja, não são linearmente independentes.

Passo 3

Para confirmar isso de forma mais rigorosa, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar o posto dessa matriz. Se o posto for igual a 3 (a dimensão de ), isso indicaria que os vetores são suficientes para gerar o espaço, mas como temos mais vetores do que a dimensão, inevitavelmente haverá dependência linear.

Passo 4

Vamos montar a matriz:
Agora, vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada e verificar se há pivôs em todas as colunas necessárias.

Passo 5

Após realizar operações de linha (como subtrair a primeira linha da terceira para eliminar o primeiro elemento da terceira linha), percebemos que o quarto vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos três primeiros. Isso confirma que os vetores são linearmente dependentes.

Passo 6

Como temos 4 vetores em um espaço de dimensão 3 e eles são linearmente dependentes, isso significa que não formam uma base para .

Resposta

O conjunto de vetores não forma uma base para .

Exercícios relacionados

Dada a transformação linear definida por
Determine o conjunto . Determine também o conjunto .
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
(a) Calcule o produto misto , sabendo que a área do paralelogramo gerado por e é igual a 3 u.a. (unidade de área).