Dada a transformação linear T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(-x+2 y, 4 x-5 y)
Determine o conjunto A=T(1,0), T(0,1). Determine também o conjunto A^prime= T(1,1), T(1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir dois conjuntos:
Para resolver isso, vamos aplicar a transformação em cada vetor fornecido.

Passo 2

Vamos começar calculando T(1,0) = (-1 + 2 cdot 0, , 4 cdot 1 - 5 cdot 0) = (-1, 4) .
A transformação pega um vetor e transforma em . Então, substituindo e :

Passo 3

Agora, vamos calcular T(0,1) = (-0 + 2 cdot 1, , 4 cdot 0 - 5 cdot 1) = (2, -5) .
Substituindo e :

Passo 4

Com isso, já temos o conjunto A = T(1,0), T(0,1) = , (-1, 4), , (2, -5) , :

Passo 5

Vamos agora calcular T(1,1) = (-1 + 2 cdot 1, , 4 cdot 1 - 5 cdot 1) = (1, -1) .
Primeiro, :

Passo 6

Agora, T(1,-1) = (-1 + 2 cdot (-1), , 4 cdot 1 - 5 cdot (-1)) = (-1 - 2, , 4 + 5) = (-3, 9) :

Resposta

Então, os conjuntos são:
A = , (-1, 4), , (2, -5) ,
A' = , (1, -1), , (-3, 9) ,

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