Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. u=(1,2,3), v=(1,3,2) e w=(1,4,1)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos verificar se os vetores , e são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Isso faz parte do conteúdo de vetores e combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar uma equação que envolva esses vetores e ver se só a solução trivial (todas as constantes sendo zero) resolve a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem Linearmente Independentes ou Dependentes. Vetores são Linearmente Independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação onde pelo menos um coeficiente não é zero que resulta no vetor zero, eles são Linearmente Dependentes.

Passo 3

Vamos montar a equação para verificar isso:
a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0
Substituindo os vetores:
a(1,2,3) + b(1,3,2) + c(1,4,1) = (0,0,0)
Isso nos dá um sistema de equações:
a + b + c = 0 2a + 3b + 4c = 0 3a + 2b + c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da matriz aumentada e calcular o determinante para ver se o sistema tem apenas a solução trivial.
Formamos a matriz dos coeficientes:
1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 3 & 2 & 1
Calculamos o determinante dessa matriz:
det = 1(3 cdot 1 - 4 cdot 2) - 1(2 cdot 1 - 4 cdot 3) + 1(2 cdot 2 - 3 cdot 3)
det = 1(3 - 8) - 1(2 - 12) + 1(4 - 9)
det = 1(-5) - 1(-10) + 1(-5) = -5 + 10 - 5 = 0

Passo 5

Como o determinante é zero, isso significa que a matriz dos coeficientes não é invertível, ou seja, o sistema tem infinitas soluções além da trivial. Portanto, existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero, o que nos diz que os vetores são Linearmente Dependentes.

Resposta

Os vetores , e são Linearmente Dependentes.

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