Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde precisamos verificar se os vetores , e são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Isso faz parte do conteúdo de vetores e combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar uma equação que envolva esses vetores e ver se só a solução trivial (todas as constantes sendo zero) resolve a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem Linearmente Independentes ou Dependentes. Vetores são Linearmente Independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação onde pelo menos um coeficiente não é zero que resulta no vetor zero, eles são Linearmente Dependentes.
Passo 3
Vamos montar a equação para verificar isso:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da matriz aumentada e calcular o determinante para ver se o sistema tem apenas a solução trivial.
Formamos a matriz dos coeficientes:
Calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Como o determinante é zero, isso significa que a matriz dos coeficientes não é invertível, ou seja, o sistema tem infinitas soluções além da trivial. Portanto, existe uma combinação não trivial dos vetores que resulta no vetor zero, o que nos diz que os vetores são Linearmente Dependentes.