De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
:
Passo 1
Vamos analisar o exercício que você enviou. A questão pede para verificar se o conjunto de vetores
forma uma base do espaço vetorial
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de base de um espaço vetorial e verificar se os vetores fornecidos satisfazem as condições necessárias para serem uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Passo 3
No caso de
, para que um conjunto de vetores seja uma base, ele precisa ter exatamente três vetores que sejam linearmente independentes. Isso acontece porque a dimensão de
é 3, ou seja, precisamos de três vetores para “preencher” todo o espaço.
Passo 4
Agora, vamos analisar o conjunto fornecido:
. Esse conjunto possui dois vetores. Como mencionamos, para formar uma base de
, precisamos de três vetores. Mas, mesmo antes de contar os vetores, podemos já notar que com apenas dois vetores não conseguimos gerar todo o espaço
.
Passo 5
Além disso, vamos verificar se os dois vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. No nosso caso:
Pois, tentando igualar componente a componente, não há um valor de
que satisfaça todas as igualdades simultaneamente.
Passo 6
Mesmo que os vetores sejam linearmente independentes, como temos apenas dois vetores, eles não conseguem gerar todo o espaço
. Portanto, o conjunto
não forma uma base de
.
Resposta
O conjunto
não forma uma base de
porque não possui três vetores necessários para gerar todo o espaço.
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(b) Sabendo que projeção ortogonal de
sobre
é um vetor da forma
, use os dados do item anterior e o produto escalar para determinar o valor de
.
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD.
e
(a) Sabendo que
podemos afirmar que
é L.I. ou L.D.? Justifique sua resposta.
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de
: