De cada conjunto de vetores abaixo, diga se forma uma base de R^3 :
(1,4,-2),(3,0,5)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. A questão pede para verificar se o conjunto de vetores (1,4,-2),(3,0,5) forma uma base do espaço vetorial R^3. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de base de um espaço vetorial e verificar se os vetores fornecidos satisfazem as condições necessárias para serem uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.

Passo 3

No caso de R^3, para que um conjunto de vetores seja uma base, ele precisa ter exatamente três vetores que sejam linearmente independentes. Isso acontece porque a dimensão de R^3 é 3, ou seja, precisamos de três vetores para “preencher” todo o espaço.

Passo 4

Agora, vamos analisar o conjunto fornecido: (1,4,-2),(3,0,5). Esse conjunto possui dois vetores. Como mencionamos, para formar uma base de R^3, precisamos de três vetores. Mas, mesmo antes de contar os vetores, podemos já notar que com apenas dois vetores não conseguimos gerar todo o espaço R^3.

Passo 5

Além disso, vamos verificar se os dois vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo escalar do outro. No nosso caso:
Não existe um número k tal que (3,0,5) = k cdot (1,4,-2) ãú
Pois, tentando igualar componente a componente, não há um valor de k que satisfaça todas as igualdades simultaneamente.

Passo 6

Mesmo que os vetores sejam linearmente independentes, como temos apenas dois vetores, eles não conseguem gerar todo o espaço R^3. Portanto, o conjunto (1,4,-2),(3,0,5) não forma uma base de R^3.

Resposta

O conjunto (1,4,-2),(3,0,5) não forma uma base de R^3 porque não possui três vetores necessários para gerar todo o espaço.

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