De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de R^2 :
(1,5),(-3,-15)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto de vetores (1,5), (-3,-15) forma uma base de R^2. Isso envolve entendermos o que é uma base e quais condições os vetores precisam cumprir para isso. Basicamente, uma base de R^2 precisa ter dois vetores que sejam linearmente independentes e que consigam gerar todo o espaço R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearidade. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Se eles forem múltiplos um do outro, então são linearmente dependentes e não podem formar uma base, porque não conseguem “preencher” todo o espaço.

Passo 3

Vamos analisar os vetores dados: (1,5) e (-3,-15). Observamos que o segundo vetor é um múltiplo do primeiro. Especificamente, se multiplicarmos o vetor (1,5) por -3, temos:
-3 times (1,5) = (-3,-15)
Isso mostra que os vetores são múltiplos um do outro, ou seja, são linearmente dependentes.

Passo 4

Como os vetores são linearmente dependentes, eles não atendem a uma das condições necessárias para formar uma base de R^2. Além disso, já que um vetor é apenas um múltiplo do outro, eles não conseguem gerar todo o espaço R^2, apenas uma reta nesse espaço.

Resposta

Não, os vetores não formam uma base de R^2.

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