Mostre que a função definida por
é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, a gente vai mostrar que a função é uma transformação linear. Isso faz parte do estudo de transformações lineares na matemática. Para provar isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz duas propriedades principais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. Essa propriedade diz que, para qualquer dois números e no domínio, a função deve respeitar:
Ou seja, aplicar a função na soma dos números é o mesmo que somar os resultados das funções aplicadas individualmente.

Passo 3

Vamos testar a aditividade com a nossa função :
E por outro lado:
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade, que diz que para qualquer número real e para qualquer número no domínio, deve valer:
Isso significa que multiplicar o input por uma constante e depois aplicar a função é o mesmo que multiplicar o resultado da função pelo mesmo constante.

Passo 5

Aplicando a homogeneidade na nossa função:
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que ela é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
Mostre que , definida por
é uma transformação linear.
Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje, estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje, estarão doentes amanhã.
(d) Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de :