Mostre que a função T: R R definida por
T(x)=2 x
é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, a gente vai mostrar que a função é uma transformação linear. Isso faz parte do estudo de transformações lineares na matemática. Para provar isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz duas propriedades principais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. Essa propriedade diz que, para qualquer dois números T(x + y) = T(x) + T(y) e no domínio, a função deve respeitar:
Ou seja, aplicar a função na soma dos números é o mesmo que somar os resultados das funções aplicadas individualmente.

Passo 3

Vamos testar a aditividade com a nossa função T(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y :
T(x) + T(y) = 2x + 2y
E por outro lado:
Como , a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade, que diz que para qualquer número real T(c cdot x) = c cdot T(x) e para qualquer número no domínio, deve valer:
Isso significa que multiplicar o input por uma constante e depois aplicar a função é o mesmo que multiplicar o resultado da função pelo mesmo constante.

Passo 5

Aplicando a homogeneidade na nossa função:
T(c cdot x) = 2(c cdot x) = c cdot 2x = c cdot T(x)
Como , a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que ela é uma transformação linear.

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