Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, a gente vai mostrar que a função
é uma transformação linear. Isso faz parte do estudo de transformações lineares na matemática. Para provar isso, vamos precisar verificar se a função satisfaz duas propriedades principais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aditividade. Essa propriedade diz que, para qualquer dois números
e
no domínio, a função deve respeitar:
Ou seja, aplicar a função na soma dos números é o mesmo que somar os resultados das funções aplicadas individualmente.
Passo 3
Vamos testar a aditividade com a nossa função
:
E por outro lado:
Como
, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade, que diz que para qualquer número real
e para qualquer número
no domínio, deve valer:
Isso significa que multiplicar o input por uma constante e depois aplicar a função é o mesmo que multiplicar o resultado da função pelo mesmo constante.
Passo 5
Aplicando a homogeneidade na nossa função:
Como
, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que ela é uma transformação linear.