De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de :
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto de vetores forma uma base do espaço . Para resolver isso, precisamos entender o que é uma “base” em Álgebra Linear e quais são os critérios para que um conjunto de vetores a forme.
Passo 2
Primeiro, o que é uma base? Uma base de um espaço vetorial, como , é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço. Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e nenhum vetor do conjunto pode ser obtido a partir dos outros por multiplicação por um número escalar.
Passo 3
Vamos falar sobre linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. No nosso caso, temos os vetores e .
No entanto, o vetor é conhecido como o vetor nulo, e ele sempre causa problemas na independência linear. Isso porque você pode multiplicar por qualquer número escalar e ainda obter , o que significa que ele não contribui para a independência do conjunto.
Passo 4
Além disso, para que dois vetores formem uma base de , eles não podem ser múltiplos um do outro (ou seja, um não pode ser obtido multiplicando o outro por um número). No nosso conjunto, mesmo que considerássemos apenas o vetor , o vetor não adiciona nenhuma informação nova.