Mostre que a função definida por
é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos verificar se a função definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear na matemática.

Passo 2

Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Adição de Vetores: para quaisquer vetores e em .
  2. Multiplicação por Escalar: para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a Propriedade da Adição de Vetores
Sejam e dois vetores em .
Primeiro, calculamos .
Aplicando em :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando os dois resultados:
Comparando os dois resultados, vemos que:

Passo 4

Verificando a Propriedade da Multiplicação por Escalar
Seja um vetor em e um escalar qualquer.
Calculamos :
Portanto, temos que:

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade da adição de vetores quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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(h)