Mostre que a função T: R^2 R^2 definida por
T(x, y)=(-x+2 y, 4 x-5 y)
é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos verificar se a função T(x, y) = (-x + 2y, 4x - 5y) definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear na matemática.

Passo 2

Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Adição de Vetores: para quaisquer vetores e em .
  2. Multiplicação por Escalar: para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função dada.

Passo 3

Verificando a Propriedade da Adição de Vetores
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(x1 + x2) + 2(y1 + y2), 4(x1 + x2) - 5(y1 + y2)) e = (-x1 - x2 + 2y1 + 2y2, 4x1 + 4x2 - 5y1 - 5y2) dois vetores em T(u) = (-x1 + 2y1, 4x1 - 5y1) .
Primeiro, calculamos T(v) = (-x2 + 2y2, 4x2 - 5y2) .
Aplicando T(u) + T(v) = (-x1 - x2 + 2y1 + 2y2, 4x1 + 4x2 - 5y1 - 5y2) em T(u + v) = T(u) + T(v) :
Simplificando:
Agora, calculamos :
Somando os dois resultados:
Comparando os dois resultados, vemos que:

Passo 4

Verificando a Propriedade da Multiplicação por Escalar
Seja T(cu) = T(cx, cy) = ( -cx + 2cy, 4cx - 5cy ) um vetor em = c(-x + 2y, 4x - 5y ) e = cT(u) um escalar qualquer.
Calculamos T(cu) = cT(u) :
Portanto, temos que:

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade da adição de vetores quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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