Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear na matemática.
Passo 2
Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Adição de Vetores:
para quaisquer vetores e em . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a Propriedade da Adição de Vetores
Sejam
e
dois vetores em
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
em
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Somando os dois resultados:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Passo 4
Verificando a Propriedade da Multiplicação por Escalar
Seja
um vetor em
e
um escalar qualquer.
Calculamos
:
Portanto, temos que:
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade da adição de vetores quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de
:
Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje,
estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje,
estarão doentes amanhã.
(d) Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.
(d) Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de
:
Resolva os sistemas a seguir.
(h)
(h)