Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza uma transformação linear na matemática.
Passo 2
Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Adição de Vetores:
para quaisquer vetores e em . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
dada.
Passo 3
Verificando a Propriedade da Adição de Vetores
Sejam
e
dois vetores em
.
Primeiro, calculamos
.
Aplicando
em
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Somando os dois resultados:
Comparando os dois resultados, vemos que:
Passo 4
Verificando a Propriedade da Multiplicação por Escalar
Seja
um vetor em
e
um escalar qualquer.
Calculamos
:
Portanto, temos que:
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade da adição de vetores quanto a da multiplicação por escalar, concluímos que
é uma transformação linear.