Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje, 95 % estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje, 55 % estarão doentes amanhã.
(d) Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cenário onde cada dia um aluno está saudável ou doente. A questão fala sobre Cadeias de Markov, que são modelos matemáticos para sistemas que mudam de estado com certas probabilidades. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor estacionário, que mostra a distribuição das probabilidades de estar saudável ou doente no longo prazo. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz de transição e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de transição. Essa matriz mostra as probabilidades de mudar de um estado para outro de um dia para o outro. Com base nas informações:
  • Se o aluno está saudável hoje, tem 95% de chance de estar saudável amanhã e 5% de mudar para doente.
  • Se o aluno está doente hoje, tem 55% de chance de continuar doente amanhã e 45% de mudar para saudável.
Então, a matriz de transição P = 0.95 & 0.05 0.45 & 0.55 fica assim:

Passo 3

Agora, vamos definir o vetor estacionário pi1 = 0.95 pi1 + 0.45 pi2 pi2 = 0.05 pi1 + 0.55 pi2 , que tem duas componentes: pi1 + pi2 = 1 para saudável e para doente. Esse vetor deve satisfazer a condição , ou seja:
Além disso, como as probabilidades devem somar 1, temos:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, reescrevemos as equações:
  1. 9 pi2 + pi2 = 1 10 pi2 = 1 pi2 = 0.1 pi1 = 9 times 0.1 = 0.9
  2. Usando :
Então,

Resposta

O vetor estacionário é:
pi = 0.9 0.1
Isso significa que, a longo prazo, 90% dos alunos estarão saudáveis e 10% estarão doentes.

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