Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje,
estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje,
estarão doentes amanhã.
(d) Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.
(d) Determine um vetor estacionário para esta Cadeia de Markov.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cenário onde cada dia um aluno está saudável ou doente. A questão fala sobre Cadeias de Markov, que são modelos matemáticos para sistemas que mudam de estado com certas probabilidades. Nosso objetivo aqui é encontrar o vetor estacionário, que mostra a distribuição das probabilidades de estar saudável ou doente no longo prazo. Para resolver isso, vamos precisar montar a matriz de transição e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de transição. Essa matriz mostra as probabilidades de mudar de um estado para outro de um dia para o outro. Com base nas informações:
- Se o aluno está saudável hoje, tem 95% de chance de estar saudável amanhã e 5% de mudar para doente.
- Se o aluno está doente hoje, tem 55% de chance de continuar doente amanhã e 45% de mudar para saudável.
Então, a matriz de transição
fica assim:
Passo 3
Agora, vamos definir o vetor estacionário
, que tem duas componentes:
para saudável e
para doente. Esse vetor deve satisfazer a condição
, ou seja:
Além disso, como as probabilidades devem somar 1, temos:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, reescrevemos as equações:
-
→ → → - Usando
:
Então,
Resposta
O vetor estacionário é:
Isso significa que, a longo prazo, 90% dos alunos estarão saudáveis e 10% estarão doentes.
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Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.
Em cada item abaixo, diga se os vetores são L.D. ou L.I.:
e
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de
:
Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.