De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de R^2 :
(2,4),(1,-2)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui! A pergunta é: os vetores (2,4),(1,-2) formam uma base de R^2? Para responder isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se esses vetores satisfazem os critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma base de R^2 é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço R^2. Em palavras simples, isso significa que nenhum dos vetores pode ser escrito como múltiplo do outro, e juntos eles conseguem alcançar qualquer ponto no plano.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, a gente pode calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores dados:
2 & 1 4 & -2
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det = (2 times -2) - (1 times 4) = -4 - 4 = -8

Passo 5

Como o determinante é -8, que é diferente de zero, isso significa que os vetores (2,4),(1,-2) são linearesmente independentes.

Passo 6

Além disso, como temos dois vetores independentes em um espaço de duas dimensões, eles necessariamente geram todo o espaço R^2. Portanto, eles formam uma base.

Resposta

Sim, os vetores (2,4),(1,-2) formam uma base de R^2.

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