Considere o sistema abaixo.
lx+y-z+w=1 a x+y+z+w=b 3 x+2 y+a w=1+a
(a) Discuta o sistema abaixo em função dos parâmetros a e b.

Passo 1

Primeiro, vamos dar uma olhada no sistema de equações que temos:
x + y - z + w = 1 a,x + y + z + w = b 3,x + 2,y + a,w = 1 + a
Aqui, estamos lidando com um sistema linear com quatro variáveis ( , , , ) e três equações, onde e são parâmetros. Nosso objetivo é entender como os valores desses parâmetros afetam as soluções do sistema. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e identificar possíveis soluções ou inconsistências.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 a & 1 & 1 & 1 & | & b 3 & 2 & 0 & a & | & 1 + a
Essa matriz nos ajudará a visualizar melhor as operações que precisamos fazer para simplificar o sistema.

Passo 3

Nossa primeira meta é eliminar o 1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 - a & 1 + a & 1 - a & | & b - a 0 & 2 - 3 & 0 + 3 & a - 3 & | & 1 + a - 3 das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como referência:
  • Linha 2: Subtraímos 1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 - a & 1 + a & 1 - a & | & b - a 0 & -1 & 3 & a - 3 & | & a - 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 1 + a1 - a & 1 & | & b - a1 - a 0 & -1 & 3 & a - 3 & | & a - 2 da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, precisamos obter o coeficiente 1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 1 + a1 - a & 1 & | & b - a1 - a 0 & 0 & 3 + 1 + a1 - a & a - 2 & | & a - 2 + b - a1 - a para na segunda linha. Se , podemos dividir a segunda linha por :
Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o :

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha. Primeiro, calculamos 3 + 1 + a1 - a = 3(1 - a) + 1 + a1 - a = 3 - 3a + 1 + a1 - a = 4 - 2a1 - a = 2(2 - a)1 - a :
a - 2 + b - a1 - a = (a - 2)(1 - a) + b - a1 - a = a - a^2 - 2 + 2a + b - a1 - a = 2a - a^2 - 2 + b1 - a
Agora, para o termo 1 & 1 & -1 & 1 & | & 1 0 & 1 & 1 + a1 - a & 1 & | & b - a1 - a 0 & 0 & 2(2 - a)1 - a & a - 2 & | & 2a - a^2 - 2 + b1 - a :
Então, nossa matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar a terceira equação para determinar as condições de consistência do sistema. A terceira equação é:
2(2 - a)1 - a cdot z + (a - 2) cdot w = 2a - a^2 - 2 + b1 - a
Podemos multiplicar ambos os lados por 2(2 - a) cdot z + (a - 2)(1 - a) cdot w = 2a - a^2 - 2 + b (desde que (4 - 2a)z + (-a^2 + 3a - 2)w = 2a - a^2 - 2 + b ) para simplificar:
Simplificando:
Essa equação nos mostra como e estão relacionados, dependendo dos valores de e .

Passo 7

Vamos agora considerar os diferentes casos para os valores de x + y - z + w = 1 x + y + z + w = b 3x + 2y + w = 2 e 2z = b - 1 implies z = b - 12 :
  1. Caso x + y - b - 12 + w = 1 implies x + y + w = 1 + b - 12 = b + 12 : Nesse caso, o denominador 3x + 2y + w = 2 , o que causa uma indeterminação nas equações anteriores. Precisamos analisar diretamente o sistema original com :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis, o que indica que temos infinitas soluções, dependendo dos valores de e , desde que seja definido adequadamente.
  1. Caso : Voltando à nossa matriz simplificada, temos a terceira equação relacionando e . Dependendo dos valores de e , podemos ter:
    • Sistema compatível determinado: Se a equação obtida permite resolver e de forma única.
    • Sistema compatível indeterminado: Se existe uma relação livre entre e , levando a soluções infinitas.
    • Sistema incompatível: Se as equações levam a uma contradição, ou seja, nenhuma solução.
Para determinar isso, precisamos analisar se os coeficientes das variáveis resultam em uma equação válida ou não, dependendo de e .

Resposta

O sistema possui diferentes comportamentos dependendo dos valores dos parâmetros e :
  • Para : O sistema é compatível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções que dependem dos valores de e , desde que seja ajustado de acordo.
  • Para :
    • Se , o sistema é compatível determinado, tendo uma única solução para , , e .
    • Se e a equação resultante for consistente, o sistema será compatível indeterminado.
    • Se e a equação resultante for inconsistente, o sistema não terá solução.
Portanto, a discussão do sistema em função dos parâmetros e mostra que:
  • Quando : Infinitas soluções.
  • Quando e satisfaz as condições das equações resultantes: Existe uma única solução.
  • Condições específicas de e podem levar a nenhuma solução ou a infinitas soluções, dependendo de como as equações se relacionam após as operações de eliminação.

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