Considere o sistema abaixo.
(a) Discuta o sistema abaixo em função dos parâmetros e .
Passo 1
Primeiro, vamos dar uma olhada no sistema de equações que temos:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear com quatro variáveis (, , , ) e três equações, onde e são parâmetros. Nosso objetivo é entender como os valores desses parâmetros afetam as soluções do sistema. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e identificar possíveis soluções ou inconsistências.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Essa matriz nos ajudará a visualizar melhor as operações que precisamos fazer para simplificar o sistema.
Passo 3
Nossa primeira meta é eliminar o das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como referência:
Linha 2: Subtraímos vezes a Linha 1 da Linha 2.
Linha 3: Subtraímos vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, precisamos obter o coeficiente para na segunda linha. Se , podemos dividir a segunda linha por :
Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o :
Passo 5
Vamos simplificar a terceira linha. Primeiro, calculamos :
Agora, para o termo :
Então, nossa matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar a terceira equação para determinar as condições de consistência do sistema. A terceira equação é:
Podemos multiplicar ambos os lados por (desde que ) para simplificar:
Simplificando:
Essa equação nos mostra como e estão relacionados, dependendo dos valores de e .
Passo 7
Vamos agora considerar os diferentes casos para os valores de e :
Caso : Nesse caso, o denominador , o que causa uma indeterminação nas equações anteriores. Precisamos analisar diretamente o sistema original com :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis, o que indica que temos infinitas soluções, dependendo dos valores de e , desde que seja definido adequadamente.
Caso : Voltando à nossa matriz simplificada, temos a terceira equação relacionando e . Dependendo dos valores de e , podemos ter:
Sistema compatível determinado: Se a equação obtida permite resolver e de forma única.
Sistema compatível indeterminado: Se existe uma relação livre entre e , levando a soluções infinitas.
Sistema incompatível: Se as equações levam a uma contradição, ou seja, nenhuma solução.
Para determinar isso, precisamos analisar se os coeficientes das variáveis resultam em uma equação válida ou não, dependendo de e .
Resposta
O sistema possui diferentes comportamentos dependendo dos valores dos parâmetros e :
Para : O sistema é compatível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções que dependem dos valores de e , desde que seja ajustado de acordo.
Para :
Se , o sistema é compatível determinado, tendo uma única solução para , , e .
Se e a equação resultante for consistente, o sistema será compatível indeterminado.
Se e a equação resultante for inconsistente, o sistema não terá solução.
Portanto, a discussão do sistema em função dos parâmetros e mostra que:
Quando : Infinitas soluções.
Quando e satisfaz as condições das equações resultantes: Existe uma única solução.
Condições específicas de e podem levar a nenhuma solução ou a infinitas soluções, dependendo de como as equações se relacionam após as operações de eliminação.