Considere o sistema abaixo.

(a) Discuta o sistema abaixo em função dos parâmetros e .

Passo 1

Primeiro, vamos dar uma olhada no sistema de equações que temos:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear com quatro variáveis ( , , , ) e três equações, onde e são parâmetros. Nosso objetivo é entender como os valores desses parâmetros afetam as soluções do sistema. Para isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que nos ajuda a simplificar o sistema e identificar possíveis soluções ou inconsistências.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Essa matriz nos ajudará a visualizar melhor as operações que precisamos fazer para simplificar o sistema.

Passo 3

Nossa primeira meta é eliminar o das equações abaixo da primeira. Para isso, usamos a primeira linha como referência:
  • Linha 2: Subtraímos vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Subtraímos vezes a Linha 1 da Linha 3.
Vamos fazer isso:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha usando a segunda linha como referência. Primeiro, precisamos obter o coeficiente para na segunda linha. Se , podemos dividir a segunda linha por :
Em seguida, somamos a segunda linha à terceira para eliminar o :

Passo 5

Vamos simplificar a terceira linha. Primeiro, calculamos :
Agora, para o termo :
Então, nossa matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar a terceira equação para determinar as condições de consistência do sistema. A terceira equação é:
Podemos multiplicar ambos os lados por (desde que ) para simplificar:
Simplificando:
Essa equação nos mostra como e estão relacionados, dependendo dos valores de e .

Passo 7

Vamos agora considerar os diferentes casos para os valores de e :
  1. Caso : Nesse caso, o denominador , o que causa uma indeterminação nas equações anteriores. Precisamos analisar diretamente o sistema original com :
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Agora, temos um sistema com duas equações e três variáveis, o que indica que temos infinitas soluções, dependendo dos valores de e , desde que seja definido adequadamente.
  1. Caso : Voltando à nossa matriz simplificada, temos a terceira equação relacionando e . Dependendo dos valores de e , podemos ter:
    • Sistema compatível determinado: Se a equação obtida permite resolver e de forma única.
    • Sistema compatível indeterminado: Se existe uma relação livre entre e , levando a soluções infinitas.
    • Sistema incompatível: Se as equações levam a uma contradição, ou seja, nenhuma solução.
Para determinar isso, precisamos analisar se os coeficientes das variáveis resultam em uma equação válida ou não, dependendo de e .

Resposta

O sistema possui diferentes comportamentos dependendo dos valores dos parâmetros e :
  • Para : O sistema é compatível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções que dependem dos valores de e , desde que seja ajustado de acordo.
  • Para :
    • Se , o sistema é compatível determinado, tendo uma única solução para , , e .
    • Se e a equação resultante for consistente, o sistema será compatível indeterminado.
    • Se e a equação resultante for inconsistente, o sistema não terá solução.
Portanto, a discussão do sistema em função dos parâmetros e mostra que:
  • Quando : Infinitas soluções.
  • Quando e satisfaz as condições das equações resultantes: Existe uma única solução.
  • Condições específicas de e podem levar a nenhuma solução ou a infinitas soluções, dependendo de como as equações se relacionam após as operações de eliminação.

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