Mostre que a função
definida por
é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. O desafio é mostrar que essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e
, e para qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Então, vamos verificar se a nossa função
cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar pela aditividade. Seja
e
, então:
Então, a função
satisfaz a propriedade da aditividade.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
, então:
Assim, a função
também satisfaz a propriedade da homogeneidade.
Resposta
Como a função
cumpre tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que
é, de fato, uma transformação linear.