Mostre que a função T: R^2 R definida por
T(x, y)=x+y
é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O desafio é mostrar que essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Então, vamos verificar se a nossa função cumpre essas duas propriedades.

Passo 3

Vamos começar pela aditividade. Seja T(u + v) &= T((x1 + x2, y1 + y2)) &= (x1 + x2) + (y1 + y2) &= (x1 + y1) + (x2 + y2) &= T(u) + T(v) e , então:
Então, a função satisfaz a propriedade da aditividade.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) &= T((cx, cy)) &= cx + cy &= c(x + y) &= cT(u) um escalar e , então:
Assim, a função também satisfaz a propriedade da homogeneidade.

Resposta

Como a função cumpre tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é, de fato, uma transformação linear.

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