Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . O desafio é mostrar que essa função é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e , e para qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
Então, vamos verificar se a nossa função cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Vamos começar pela aditividade. Seja e , então:
Então, a função satisfaz a propriedade da aditividade.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja um escalar e , então:
Assim, a função também satisfaz a propriedade da homogeneidade.
Resposta
Como a função cumpre tanto a aditividade quanto a homogeneidade, podemos concluir que é, de fato, uma transformação linear.