De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de vetores forma uma base do espaço . Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de base, que envolve saber se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Vamos precisar analisar se esses vetores se combinam de maneira a cobrir todo o plano e se nenhum deles é redundante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores dados satisfazem essas duas condições. Olhando para o conjunto , já podemos notar algo: o vetor é o vetor nulo, que não contribui para a geração do espaço e é sempre linearmente dependente com qualquer outro vetor.
Além disso, observamos que o vetor é exatamente o dobro do vetor , ou seja, . Isso significa que não adiciona nada novo ao conjunto, pois ele já pode ser obtido a partir de . Portanto, temos vetores que são dependentes entre si.

Passo 4

Por causa disso, o conjunto não atende aos critérios necessários para ser uma base de . Ele não é linearmente independente e não gera todo o espaço de forma eficiente.

Resposta

Não, o conjunto não forma uma base de .

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Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de :
Para qual valor de , os vetores e do são linearmente dependentes?
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e
Dada a transformação linear definida por
Determine o conjunto . Determine também o conjunto .