De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de vetores
forma uma base do espaço
. Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de base, que envolve saber se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço
. Vamos precisar analisar se esses vetores se combinam de maneira a cobrir todo o plano e se nenhum deles é redundante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de
é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, geram todo o espaço
. Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores dados satisfazem essas duas condições. Olhando para o conjunto
, já podemos notar algo: o vetor
é o vetor nulo, que não contribui para a geração do espaço e é sempre linearmente dependente com qualquer outro vetor.
Além disso, observamos que o vetor
é exatamente o dobro do vetor
, ou seja,
. Isso significa que
não adiciona nada novo ao conjunto, pois ele já pode ser obtido a partir de
. Portanto, temos vetores que são dependentes entre si.
Passo 4
Por causa disso, o conjunto
não atende aos critérios necessários para ser uma base de
. Ele não é linearmente independente e não gera todo o espaço
de forma eficiente.
Resposta
Não, o conjunto
não forma uma base de
.
Exercícios relacionados
Determine a expressão algébrica da transformação linear
que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de
:
Para qual valor de
, os vetores
e
do
são linearmente dependentes?
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD.
e
Dada a transformação linear
definida por
Determine o conjunto
. Determine também o conjunto
.