De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de R^2 :
(0,0),(1,2),(2,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto de vetores (0,0),(1,2),(2,4) forma uma base do espaço R^2. Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de base, que envolve saber se os vetores são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço R^2. Vamos precisar analisar se esses vetores se combinam de maneira a cobrir todo o plano e se nenhum deles é redundante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de R^2 é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que, juntos, geram todo o espaço R^2. Isso significa que qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, e que nenhum vetor no conjunto pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores dados satisfazem essas duas condições. Olhando para o conjunto (0,0),(1,2),(2,4), já podemos notar algo: o vetor (0,0) é o vetor nulo, que não contribui para a geração do espaço e é sempre linearmente dependente com qualquer outro vetor.
Além disso, observamos que o vetor (2,4) é exatamente o dobro do vetor (1,2), ou seja, (2,4) = 2 cdot (1,2). Isso significa que (2,4) não adiciona nada novo ao conjunto, pois ele já pode ser obtido a partir de (1,2). Portanto, temos vetores que são dependentes entre si.

Passo 4

Por causa disso, o conjunto (0,0),(1,2),(2,4) não atende aos critérios necessários para ser uma base de R^2. Ele não é linearmente independente e não gera todo o espaço R^2 de forma eficiente.

Resposta

Não, o conjunto (0,0),(1,2),(2,4) não forma uma base de R^2.

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