Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expressão algébrica de uma transformação linear . Isso significa que queremos descobrir uma fórmula que descreva como transforma qualquer vetor de em outro vetor de . Para isso, vamos precisar usar a base canônica de e conhecer um pouco sobre matrizes de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de . Ela é formada por três vetores que são:
Esses vetores são como os “blocos de construção” para qualquer outro vetor em .

Passo 3

Agora, sabemos que uma transformação linear é totalmente determinada por como ela age sobre os vetores da base canônica. Ou seja, se conhecemos , e , podemos descobrir como age em qualquer vetor de .

Passo 4

No enunciado, nos dizem que:
Esses são exatamente , e .

Passo 5

A próxima etapa é construir a matriz da transformação linear . Essa matriz tem como colunas os vetores , e . Então, organizamos os vetores dados em colunas:

Passo 6

Com a matriz pronta, podemos escrever a expressão algébrica da transformação . Para qualquer vetor em , a transformação é dada por:

Resposta

A expressão algébrica da transformação linear é a multiplicação da matriz
pelo vetor , ou seja,

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Para qual valor de , os vetores e do são linearmente dependentes?
Dadas as afirmações abaixo:
Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no .
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de :
Prove que os vetores de cada item abaixo são LI ou LD. e