Determine a expressão algébrica da transformação linear T: R^3 R^3 que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de R^3 :
T(1,0,0)=(1,0,-1), T(0,1,0)=(0,1,1) e T(0,0,1)=(-1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expressão algébrica de uma transformação linear . Isso significa que queremos descobrir uma fórmula que descreva como transforma qualquer vetor de em outro vetor de . Para isso, vamos precisar usar a base canônica de e conhecer um pouco sobre matrizes de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) . Ela é formada por três vetores que são:
Esses vetores são como os “blocos de construção” para qualquer outro vetor em .

Passo 3

Agora, sabemos que uma transformação linear é totalmente determinada por como ela age sobre os vetores da base canônica. Ou seja, se conhecemos , e , podemos descobrir como age em qualquer vetor de .

Passo 4

No enunciado, nos dizem que:
T(1,0,0) = (1, 0, -1), T(0,1,0) = (0, 1, 1), T(0,0,1) = (-1, 1, 0)
Esses são exatamente , e .

Passo 5

A próxima etapa é construir a matriz da transformação linear A = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 . Essa matriz tem como colunas os vetores , e . Então, organizamos os vetores dados em colunas:

Passo 6

Com a matriz T(x) = A cdot x = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 x1 x2 x3 pronta, podemos escrever a expressão algébrica da transformação . Para qualquer vetor em , a transformação é dada por:

Resposta

A expressão algébrica da transformação linear 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 é a multiplicação da matriz
T(x) = 1 & 0 & -1 0 & 1 & 1 -1 & 1 & 0 x1 x2 x3
pelo vetor , ou seja,

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