Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a expressão algébrica de uma transformação linear . Isso significa que queremos descobrir uma fórmula que descreva como transforma qualquer vetor de em outro vetor de . Para isso, vamos precisar usar a base canônica de e conhecer um pouco sobre matrizes de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica de . Ela é formada por três vetores que são:
Esses vetores são como os “blocos de construção” para qualquer outro vetor em .
Passo 3
Agora, sabemos que uma transformação linear é totalmente determinada por como ela age sobre os vetores da base canônica. Ou seja, se conhecemos , e , podemos descobrir como age em qualquer vetor de .
Passo 4
No enunciado, nos dizem que:
Esses são exatamente , e .
Passo 5
A próxima etapa é construir a matriz da transformação linear. Essa matriz tem como colunas os vetores , e . Então, organizamos os vetores dados em colunas:
Passo 6
Com a matriz pronta, podemos escrever a expressão algébrica da transformação . Para qualquer vetor em , a transformação é dada por:
Resposta
A expressão algébrica da transformação linear é a multiplicação da matriz