Para qual valor de , os vetores e do são linearmente dependentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o valor de que faz com que os vetores , e no espaço tridimensional sejam linearmente dependentes. Isso significa que um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que três vetores em são linearmente dependentes se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar o determinante dessa matriz e resolver a equação determinante igual a zero para encontrar .

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .

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Dadas as afirmações abaixo:
Três arestas quaisquer de um hexaedro (cubo) representam vetores que constituem base no .
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Determine a expressão algébrica da transformação linear que leva os vetores da base canônica nos seguintes vetores de :
De cada conjunto de vetores abaixo, diga se formam uma base de :