Para qual valor de , os vetores e do são linearmente dependentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o valor de que faz com que os vetores , e no espaço tridimensional sejam linearmente dependentes. Isso significa que um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que três vetores em são linearmente dependentes se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar o determinante dessa matriz e resolver a equação determinante igual a zero para encontrar .
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Passo 6
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .