Para qual valor de k, os vetores (8,2, k),(2,1,0) e (1,2,3) do R^3 são linearmente dependentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear onde precisamos encontrar o valor de que faz com que os vetores , e no espaço tridimensional sejam linearmente dependentes. Isso significa que um desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que três vetores em são linearmente dependentes se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar o determinante dessa matriz e resolver a equação determinante igual a zero para encontrar .

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
8 & 2 & 1 2 & 1 & 2 k & 0 & 3

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado assim:
det = 8(1 cdot 3 - 2 cdot 0) - 2(2 cdot 3 - 2 cdot k) + 1(2 cdot 0 - 1 cdot k)
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
det = 8(3 - 0) - 2(6 - 2k) + 1(0 - k)
det = 8 cdot 3 - 2 cdot (6 - 2k) - k
det = 24 - 12 + 4k - k
det = 12 + 3k

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
12 + 3k = 0
Resolvendo para 3k = -12 :
k = -4

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .

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