Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um conjunto no plano complexo, onde . Ou seja, estamos lidando com números complexos que estão dentro do círculo de raio 1 (já que ) e cuja parte real é pelo menos . Vamos estudar isso usando conceitos de geometria no plano complexo e funções que representam essas regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada condição significa:
  1. : Isso representa todos os pontos dentro e na borda de um círculo de raio 1 centrado na origem (0,0) no plano complexo.
  2. : Aqui, estamos considerando apenas os pontos cuja parte real (a coordenada x) é maior ou igual a . Geometricamente, isso corresponde a uma região à direita da linha vertical .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o conjunto :
  • Desenhamos o círculo de raio 1 centrado na origem.
  • Traçamos a linha vertical , ou seja, .
  • A interseção dessas duas figuras será a fronteira do nosso conjunto .
Então, é a parte do círculo onde .

Passo 4

Para descrever a fronteira de , observamos que ela é composta por duas partes:
  1. Parte Circular: A porção do círculo que está à direita da linha .
  2. Parte Linear: A linha vertical de a , onde a linha intercepta o círculo.
Essas duas curvas se juntam suavemente nos pontos de interseção, formando uma fronteira contínua e suave por partes.

Passo 5

Agora, vamos pensar em uma aplicação (função) que descreva essa fronteira. Podemos usar a função que representa o círculo combinado com a função que representa a linha:
í
Onde varia de 0 a para percorrer todo o círculo, e varia de a para a linha vertical.

Resposta

O conjunto é a região no plano complexo dentro do círculo de raio 1 centrado na origem e à direita da linha vertical . Sua fronteira é composta pela porção do círculo onde e pela linha vertical que liga os pontos de interseção com o círculo. Uma aplicação que descreve essa fronteira pode ser definida por:
í
Onde varia de 0 a e varia de a .

Exercícios relacionados

Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
Determine das funções abaixo:
(a)
Calcule e , onde e é (i) o quadrado , (ii) o disco ( e tem orientação compativel).