Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um conjunto
no plano complexo, onde
. Ou seja, estamos lidando com números complexos
que estão dentro do círculo de raio 1 (já que
) e cuja parte real é pelo menos
. Vamos estudar isso usando conceitos de geometria no plano complexo e funções que representam essas regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada condição significa:
-
: Isso representa todos os pontos dentro e na borda de um círculo de raio 1 centrado na origem (0,0) no plano complexo. -
: Aqui, estamos considerando apenas os pontos cuja parte real (a coordenada x) é maior ou igual a . Geometricamente, isso corresponde a uma região à direita da linha vertical .
Passo 3
Agora, vamos visualizar o conjunto
:
- Desenhamos o círculo de raio 1 centrado na origem.
- Traçamos a linha vertical
, ou seja, . - A interseção dessas duas figuras será a fronteira do nosso conjunto
.
Então,
é a parte do círculo onde
.
Passo 4
Para descrever a fronteira de
, observamos que ela é composta por duas partes:
- Parte Circular: A porção do círculo
que está à direita da linha . - Parte Linear: A linha vertical
de a , onde a linha intercepta o círculo.
Essas duas curvas se juntam suavemente nos pontos de interseção, formando uma fronteira contínua e suave por partes.
Passo 5
Agora, vamos pensar em uma aplicação (função) que descreva essa fronteira. Podemos usar a função que representa o círculo combinado com a função que representa a linha:
Onde
varia de 0 a
para percorrer todo o círculo, e
varia de
a
para a linha vertical.
Resposta
O conjunto
é a região no plano complexo dentro do círculo de raio 1 centrado na origem e à direita da linha vertical
. Sua fronteira é composta pela porção do círculo
onde
e pela linha vertical
que liga os pontos de interseção com o círculo. Uma aplicação que descreve essa fronteira pode ser definida por:
Onde
varia de 0 a
e
varia de
a
.
Exercícios relacionados
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Determine
das funções abaixo:
(a)
(a)
Calcule
e
, onde
e
é (i) o quadrado
, (ii) o disco
(
e
tem orientação compativel).