Calcule e , onde e é (i) o quadrado , (ii) o disco ( e tem orientação compativel).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais de linha sobre a fronteira de dois conjuntos diferentes: um quadrado e um disco. O conteúdo principal aqui é Cálculo Integral, mais especificamente Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para resolver as integrais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as integrais que precisamos calcular:
Aqui, representa a borda do conjunto , que pode ser um quadrado ou um disco. O parâmetro é um número inteiro maior ou igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região interna. O teorema diz:
Para nossas integrais, podemos identificar e da seguinte forma:
  1. Para , temos e .
  2. Para , temos e .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Green para cada integral.
Primeira Integral:
Segunda Integral:

Passo 5

Agora, precisamos calcular essas integrais duplas para os dois casos: o quadrado e o disco .
Caso (i): Quadrado
As integrais ficam:
Caso (ii): Disco
Para o disco, é mais conveniente usar coordenadas polares. Vamos converter as integrais para polares.
A integral de sobre a é zero se for ímpar, devido à simetria da função seno. Se for par, a integral será positiva, mas no geral, para , essa integral tende a zero.
Assim como a integral de cosseno, a integral de seno também tende a zero pela simetria para .

Resposta

Para o quadrado :
Para o disco :

Exercícios relacionados

Determine das funções abaixo:
(a)
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de . [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e