Calcule integralpartial V x^n d y e integralpartial V y^n d x, onde n >= 1 e V é (i) o quadrado [0,1] times [0,1], (ii) o disco D(0,1) ( V e partial V tem orientação compativel).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais de linha sobre a fronteira de dois conjuntos diferentes: um quadrado e um disco. O conteúdo principal aqui é Cálculo Integral, mais especificamente Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para resolver as integrais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as integrais que precisamos calcular:
integralpartial V x^n , dy e integralpartial V y^n , dx
Aqui, partial V representa a borda do conjunto V, que pode ser um quadrado ou um disco. O parâmetro n é um número inteiro maior ou igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região interna. O teorema diz:
ointpartial V (M , dx + N , dy) = integral duplaV ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dx , dy
Para nossas integrais, podemos identificar M e N da seguinte forma:
  1. Para integralpartial V x^n , dy, temos M = 0 e N = x^n.
  2. Para integralpartial V y^n , dx, temos M = y^n e N = 0.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Green para cada integral.
Primeira Integral:
ointpartial V x^n , dy = integral duplaV ( partial x^npartial x - partial 0partial y ) , dx , dy = integral duplaV n x^n-1 , dx , dy
Segunda Integral:
ointpartial V y^n , dx = integral duplaV ( partial 0partial x - partial y^npartial y ) , dx , dy = -integral duplaV n y^n-1 , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos calcular essas integrais duplas para os dois casos: o quadrado [0,1] times [0,1] e o disco D(0,1).
Caso (i): Quadrado [0,1] times [0,1]
As integrais ficam:
  1. integral duplaV n x^n-1 , dx , dy = n integral0^1 integral0^1 x^n-1 , dx , dy = n integral0^1 [ x^nn ]0^1 , dy = n integral0^1 1n , dy = 1
  2. -integral duplaV n y^n-1 , dx , dy = -n integral0^1 integral0^1 y^n-1 , dx , dy = -n integral0^1 y^n-1 cdot 1 , dy = -n [ y^nn ]0^1 = -1
Caso (ii): Disco D(0,1)
Para o disco, é mais conveniente usar coordenadas polares. Vamos converter as integrais para polares.
  1. integral duplaV n x^n-1 , dx , dy = n integral0^2pi integral0^1 (r cos theta)^n-1 cdot r , dr , dtheta = n integral0^2pi cos^n-1 theta integral0^1 r^n , dr , dtheta = n cdot 1n+1 integral0^2pi cos^n-1 theta , dtheta
A integral de cos^n-1 theta sobre 0 a 2pi é zero se n-1 for ímpar, devido à simetria da função seno. Se n-1 for par, a integral será positiva, mas no geral, para n >= 1, essa integral tende a zero.
  1. -integral duplaV n y^n-1 , dx , dy = -n integral0^2pi integral0^1 (r sin theta)^n-1 cdot r , dr , dtheta = -n integral0^2pi sin^n-1 theta integral0^1 r^n , dr , dtheta = -n cdot 1n+1 integral0^2pi sin^n-1 theta , dtheta
Assim como a integral de cosseno, a integral de seno também tende a zero pela simetria para n >= 1.

Resposta

Para o quadrado [0,1] times [0,1]:
integralpartial V x^n , dy = 1 e integralpartial V y^n , dx = -1
Para o disco D(0,1):
integralpartial V x^n , dy = 0 e integralpartial V y^n , dx = 0

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