Calcule
e
, onde
e
é (i) o quadrado
, (ii) o disco
(
e
tem orientação compativel).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular duas integrais de linha sobre a fronteira de dois conjuntos diferentes: um quadrado e um disco. O conteúdo principal aqui é Cálculo Integral, mais especificamente Teorema de Green, que nos ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para resolver as integrais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as integrais que precisamos calcular:
Aqui,
representa a borda do conjunto
, que pode ser um quadrado ou um disco. O parâmetro
é um número inteiro maior ou igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região interna. O teorema diz:
Para nossas integrais, podemos identificar
e
da seguinte forma:
- Para
, temos e . - Para
, temos e .
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Green para cada integral.
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Passo 5
Agora, precisamos calcular essas integrais duplas para os dois casos: o quadrado
e o disco
.
Caso (i): Quadrado
As integrais ficam:
Caso (ii): Disco
Para o disco, é mais conveniente usar coordenadas polares. Vamos converter as integrais para polares.
A integral de
sobre
a
é zero se
for ímpar, devido à simetria da função seno. Se
for par, a integral será positiva, mas no geral, para
, essa integral tende a zero.
Assim como a integral de cosseno, a integral de seno também tende a zero pela simetria para
.
Resposta
Para o quadrado
:
Para o disco
:
Exercícios relacionados
Determine
das funções abaixo:
(a)
(a)
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função dada para o valor especificado de
. [Observe que: Dados um ponto da reta e sua inclinação, podemos construir a equação da reta.]
b)
b)
Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas:
(b) e
(b)