Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um número complexo qualquer, chamado , e precisa analisar o conjunto de todos os números complexos que satisfazem a desigualdade . Nosso objetivo é esboçar esse conjunto, determinar se ele é fechado, aberto ou nenhum dos dois, desenhar sua fronteira, e dizer se é um domínio e se é limitado.

Passo 2

Para resolver isso, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é o conjugado de . O módulo de um número complexo é .

Passo 3

Vamos substituir e na desigualdade dada. Seja , onde e são números reais. Então, temos:
Substituindo e :

Passo 4

Vamos calcular cada lado da desigualdade:
Então, a desigualdade fica:

Passo 5

Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando os termos comuns:

Passo 6

Vamos expandir os quadrados:
Cancelando e dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar os termos envolvendo :
Agora, vamos considerar os casos com base no valor de :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
    A desigualdade se torna , o que nunca é verdadeiro. Portanto, não há solução.

Passo 8

Com base nisso, podemos concluir que:
  • Se , o conjunto de solução é o semiplano superior .
  • Se , o conjunto de solução é o semiplano inferior .
  • Se , não existe nenhum número complexo que satisfaça a desigualdade.

Passo 9

Agora, vamos analisar as propriedades do conjunto:
  • Aberto ou Fechado:
    O conjunto ou é um conjunto aberto, pois não inclui sua fronteira .
  • Fronteira:
    A fronteira do conjunto é a reta .
  • Domínio:
    Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como os semiplanos são abertos e não possuem “buracos”, eles são domínios.
  • Limitado:
    Os semiplanos não são limitados, pois se estendem infinitamente em todas as direções acima ou abaixo da linha .

Resposta

Portanto, o conjunto é:
  • Aberto: Sim.
  • Fechado: Não.
  • Fronteira: A reta .
  • Domínio: Sim, é um domínio.
  • Limitado: Não, é ilimitado.
Dependendo do valor de em :
  • Se , o conjunto é o semiplano superior .
  • Se , o conjunto é o semiplano inferior .
  • Se , o conjunto não existe (vazio).

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Nesse exercício, é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados: .
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva. .