Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um número complexo qualquer, chamado
, e precisa analisar o conjunto de todos os números complexos
que satisfazem a desigualdade
. Nosso objetivo é esboçar esse conjunto, determinar se ele é fechado, aberto ou nenhum dos dois, desenhar sua fronteira, e dizer se é um domínio e se é limitado.
Passo 2
Para resolver isso, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é o conjugado de
. O módulo de um número complexo
é
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na desigualdade dada. Seja
, onde
e
são números reais. Então, temos:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos calcular cada lado da desigualdade:
Então, a desigualdade fica:
Passo 5
Podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Simplificando os termos comuns:
Passo 6
Vamos expandir os quadrados:
Cancelando
e
dos dois lados:
Passo 7
Vamos isolar os termos envolvendo
:
Agora, vamos considerar os casos com base no valor de
:
-
Se
: -
Se
: -
Se
: A desigualdade se torna, o que nunca é verdadeiro. Portanto, não há solução.
Passo 8
Com base nisso, podemos concluir que:
- Se
, o conjunto de solução é o semiplano superior . - Se
, o conjunto de solução é o semiplano inferior . - Se
, não existe nenhum número complexo que satisfaça a desigualdade.
Passo 9
Agora, vamos analisar as propriedades do conjunto:
-
Aberto ou Fechado:O conjunto
ou é um conjunto aberto, pois não inclui sua fronteira . -
Fronteira:A fronteira do conjunto é a reta
. -
Domínio:Um domínio é um conjunto aberto e conexo. Como os semiplanos são abertos e não possuem “buracos”, eles são domínios.
-
Limitado:Os semiplanos não são limitados, pois se estendem infinitamente em todas as direções acima ou abaixo da linha
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é:
- Aberto: Sim.
- Fechado: Não.
- Fronteira: A reta
. - Domínio: Sim, é um domínio.
- Limitado: Não, é ilimitado.
Dependendo do valor de
em
:
- Se
, o conjunto é o semiplano superior . - Se
, o conjunto é o semiplano inferior . - Se
, o conjunto não existe (vazio).
Exercícios relacionados
Nesse exercício,
é um número complexo arbitrário. Esboce os conjuntos abaixo, diga se são fechados, abertos (ou nenhum deles), esboce sua fronteira, diga quais são domínios e quais são limitados:
.
Para cada um dos conjuntos abaixo, sua fronteira é descrita por uma curva suave por partes. Esboce o conjunto, sua fronteira e dê uma aplicação que a descreva.
.