Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os subespaços e onde e são subespaços de um espaço vetorial . No caso, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais, representado por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços, soma de subespaços e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os subespaços e .
Subespaço : Consiste em todos os polinômios em que satisfazem para todo . Ou seja, a segunda derivada de é zero em todos os pontos.
Subespaço : Consiste em todos os polinômios em que satisfazem para todo . Ou seja, a primeira derivada de é zero em todos os pontos.
Passo 3
Vamos determinar a forma geral dos polinômios em e .
Para :
Sabemos que . Vamos considerar que é um polinômio de grau no máximo 3:
Calculando a segunda derivada:
Para que para todo , os coeficientes devem satisfazer:
Portanto, os polinômios em têm a forma:
Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1.
Para :
Sabemos que . Vamos considerar que é um polinômio de grau no máximo 3:
Calculando a primeira derivada:
Para que para todo , os coeficientes devem satisfazer:
Portanto, os polinômios em têm a forma:
Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios constantes.
Passo 4
Agora, vamos encontrar e .
Para :
A soma de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Sabemos que:
Então:
Perceba que é simplesmente uma constante, já que e são constantes reais. Portanto, consiste em todos os polinômios lineares da forma , onde é uma constante.
Observamos que é igual a porque já está contido em . Isso porque todo polinômio constante (elemento de ) também é um polinômio de grau no máximo 1 (elemento de ).
Para :
A interseção de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a e a :
De , temos e de , temos . Para que um polinômio pertença a ambos, ele deve ser constante e também ter a forma .
Isso só é possível se . Assim, .
Portanto, é o conjunto de todos os polinômios constantes, ou seja, .