Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços U+W e U cap W, onde U e W são subespaços do espaço vetorial V indicado.
© U=p in P3(R): p^prime prime(t)=0, forall t in R ; W=q in P3(R): q^prime(t)=0, forall t in R ; V= P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os subespaços e onde e são subespaços de um espaço vetorial . No caso, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais, representado por . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços, soma de subespaços e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os subespaços e .
  • Subespaço : Consiste em todos os polinômios em que satisfazem para todo . Ou seja, a segunda derivada de é zero em todos os pontos.
  • Subespaço : Consiste em todos os polinômios em que satisfazem para todo . Ou seja, a primeira derivada de é zero em todos os pontos.

Passo 3

Vamos determinar a forma geral dos polinômios em p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d e p''(t) = 6at + 2b .
  • Para 6a = 0 e 2b = 0 implies a = 0 e b = 0 :
    Sabemos que p(t) = ct + d . Vamos considerar que q(t) = et^3 + ft^2 + > + h é um polinômio de grau no máximo 3:
    q'(t) = 3et^2 + 2ft + g
    Calculando a segunda derivada:
    3e = 0 2f = 0 g = 0 implies e = 0 f = 0 g = 0
    Para que q(t) = h para todo , os coeficientes devem satisfazer:
    Portanto, os polinômios em têm a forma:
    Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1.
  • Para :
    Sabemos que . Vamos considerar que é um polinômio de grau no máximo 3:
    Calculando a primeira derivada:
    Para que para todo , os coeficientes devem satisfazer:
    Portanto, os polinômios em têm a forma:
    Ou seja, é o conjunto de todos os polinômios constantes.

Passo 4

Agora, vamos encontrar U + W = p(t) + q(t) | p(t) in U, q(t) in W e p(t) = ct + d e q(t) = h .
  • Para p(t) + q(t) = ct + d + h = ct + (d + h) :
    A soma de dois subespaços U cap W = p(t) | p(t) in U e p(t) in W e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
    Sabemos que:
    Então:
    Perceba que é simplesmente uma constante, já que e são constantes reais. Portanto, consiste em todos os polinômios lineares da forma , onde é uma constante.
    Observamos que é igual a porque já está contido em . Isso porque todo polinômio constante (elemento de ) também é um polinômio de grau no máximo 1 (elemento de ).
  • Para :
    A interseção de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que pertencem simultaneamente a e a :
    De , temos e de , temos . Para que um polinômio pertença a ambos, ele deve ser constante e também ter a forma .
    Isso só é possível se . Assim, .
    Portanto, é o conjunto de todos os polinômios constantes, ou seja, .

Resposta

  • , que consiste em todos os polinômios da forma .
  • , que consiste em todos os polinômios constantes.

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