Calcular os ângulos diretores do vetor u=(6,-2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os ângulos diretores do vetor . Isso está relacionado a geometria vetorial, onde queremos saber quais são os ângulos que esse vetor forma com os eixos , e no espaço. Para resolver isso, vamos precisar calcular a magnitude do vetor e usar as fórmulas dos cossenos dos ângulos diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) do vetor |u| = raiza^2 + b^2 + c^2 . A fórmula para a magnitude de um vetor |u| = raiz6^2 + (-2)^2 + 3^2 = raiz36 + 4 + 9 = raiz49 = 7 é:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Então, a magnitude do vetor é 7.

Passo 3

Agora, vamos calcular os ângulos diretores cos(alpha) = a|u|, cos(beta) = b|u|, cos(gamma) = c|u| , cos(alpha) = 67 cos(beta) = -27 cos(gamma) = 37 e que o vetor forma com os eixos , e , respectivamente. As fórmulas para esses ângulos são:
Substituindo os valores do vetor e a magnitude que calculamos:

Passo 4

Para encontrar os ângulos alpha = cos^-1(67) beta = cos^-1(-27) gamma = cos^-1(37) , alpha approx cos^-1(0.8571) approx 31.0^circ beta approx cos^-1(-0.2857) approx 106.3^circ gamma approx cos^-1(0.4286) approx 64.6^circ e , vamos usar a função arco cosseno (ou ):
Vamos calcular cada um:

Resposta

Os ângulos diretores do vetor alpha approx 31.0^circ, beta approx 106.3^circ, gamma approx 64.6^circ são aproximadamente:

Exercícios relacionados