Para cada curva paramétrica dada, elimine o parâmetro e determine a equação cartesiana correspondente. A seguir, esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um par de equações paramétricas: e , onde varia de a . Nosso objetivo é eliminar o parâmetro e encontrar a equação cartesiana dessa curva. Para isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas, especialmente a que relaciona o seno e o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as duas equações paramétricas:
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o seno e o cosseno:

Passo 3

Vamos usar essa identidade para eliminar o parâmetro . Substituímos por e por na identidade:

Passo 4

Agora temos a equação cartesiana da curva:
Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centrado na origem .

Passo 5

Para esboçar a curva, desenhamos um círculo de raio 1 no plano cartesiano. Agora, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme aumenta de a .
Quando :
Portanto, começamos no ponto .
À medida que aumenta, aumenta até , onde e . Depois, diminui novamente até , onde e .

Resposta

A equação cartesiana da curva é , que representa um círculo de raio 1 centrado na origem. Ao esboçar, a curva começa no ponto , se move para a direita até e depois para a esquerda até , com uma seta indicando essa direção conforme aumenta de a .

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Encontre o determinante da matriz
Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência , no sentido anti-horário, do seguinte modo:
três voltas completas a partir do ponto ;
Para cada curva paramétrica dada, elimine o parâmetro e determine a equação cartesiana correspondente. A seguir, esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
.
Considere a matriz, que depende do parâmetro .
(a) Determinar, para quais valores reais de a matriz é invertível.