Para cada curva paramétrica dada, elimine o parâmetro e determine a equação cartesiana correspondente. A seguir, esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um par de equações paramétricas:
e
, onde
varia de
a
. Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
e encontrar a equação cartesiana dessa curva. Para isso, vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas, especialmente a que relaciona o seno e o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as duas equações paramétricas:
Sabemos que existe uma identidade trigonométrica que relaciona o seno e o cosseno:
Passo 3
Vamos usar essa identidade para eliminar o parâmetro
. Substituímos
por
e
por
na identidade:
Passo 4
Agora temos a equação cartesiana da curva:
Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centrado na origem
.
Passo 5
Para esboçar a curva, desenhamos um círculo de raio 1 no plano cartesiano. Agora, vamos indicar a direção em que a curva é traçada conforme
aumenta de
a
.
Quando
:
Portanto, começamos no ponto
.
À medida que
aumenta,
aumenta até
, onde
e
. Depois,
diminui novamente até
, onde
e
.
Resposta
A equação cartesiana da curva é
, que representa um círculo de raio 1 centrado na origem. Ao esboçar, a curva começa no ponto
, se move para a direita até
e depois para a esquerda até
, com uma seta indicando essa direção conforme
aumenta de
a
.