Considere a matriz, que depende do parâmetro .
(a) Determinar, para quais valores reais de a matriz é invertível.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos apresenta uma matriz que depende de um parâmetro e nos pede para descobrir para quais valores reais de essa matriz é invertível. O conteúdo envolvido aqui inclui matrizes, determinantes e a condição de invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e analisar para quais valores de esse determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz e descobrir quando ele não é igual a zero.
A matriz é dada por:
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos optar pela expansão pelo primeiro linha para facilitar.

Passo 3

Aplicando a expansão pelo primeiro linha, o determinante de ( ) é dado por:
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Somando tudo:
Vamos simplificar essa expressão:
Então:

Passo 4

Agora, queremos que para que a matriz seja invertível:

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores reais de , exceto quando ou . Ou seja, é invertível para .

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