(a) Determinar, para quais valores reais de k a matriz A é invertível.
Passo 1
Vamos lá! A questão nos apresenta uma matriz que depende de um parâmetro e nos pede para descobrir para quais valores reais de essa matriz é invertível. O conteúdo envolvido aqui inclui matrizes, determinantes e a condição de invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e analisar para quais valores de esse determinante é diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz A = 1 & -2 & 0 3k & 8+2k & k-1 0 & 8k+8 & 0 e descobrir quando ele não é igual a zero.
A matriz é dada por:
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos optar pela expansão pelo primeiro linha para facilitar.
Passo 3
Aplicando a expansão pelo primeiro linha, o determinante de det(A) = a11 cdot det 8+2k & k-1 8k+8 & 0 - a12 cdot det 3k & k-1 0 & 0 + a13 cdot det 3k & 8+2k 0 & 8k+8 ( 1 cdot ( (8+2k) cdot 0 - (k-1)(8k+8) ) = - (k-1)(8k+8) ) é dado por: