Considere a matriz, que depende do parâmetro k.
A=[ccc 1 & -2 & 0 3 k & 8+2 k & k-1 0 & 8 k+8 & 0 ]
(a) Determinar, para quais valores reais de k a matriz A é invertível.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos apresenta uma matriz que depende de um parâmetro e nos pede para descobrir para quais valores reais de essa matriz é invertível. O conteúdo envolvido aqui inclui matrizes, determinantes e a condição de invertibilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e analisar para quais valores de esse determinante é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz A = 1 & -2 & 0 3k & 8+2k & k-1 0 & 8k+8 & 0 e descobrir quando ele não é igual a zero.
A matriz é dada por:
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos optar pela expansão pelo primeiro linha para facilitar.

Passo 3

Aplicando a expansão pelo primeiro linha, o determinante de det(A) = a11 cdot det 8+2k & k-1 8k+8 & 0 - a12 cdot det 3k & k-1 0 & 0 + a13 cdot det 3k & 8+2k 0 & 8k+8 ( 1 cdot ( (8+2k) cdot 0 - (k-1)(8k+8) ) = - (k-1)(8k+8) ) é dado por:
-(-2) cdot ( 3k cdot 0 - (k-1) cdot 0 ) = 0
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
    0 cdot ( dots ) = 0
  2. Segundo termo:
    det(A) = - (k-1)(8k+8)
  3. Terceiro termo:
    det(A) = - (k-1) cdot 8(k+1) = -8(k-1)(k+1) = -8(k^2 - 1)
Somando tudo:
det(A) = -8k^2 + 8
Vamos simplificar essa expressão:
Então:

Passo 4

Agora, queremos que -8k^2 + 8 neq 0 para que a matriz seja invertível:
-8(k^2 - 1) neq 0
k^2 - 1 neq 0
k^2 neq 1
k neq pm 1

Resposta

A matriz é invertível para todos os valores reais de , exceto quando ou . Ou seja, é invertível para .

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