Determine as equações paramétricas para a trajetória de uma partícula que se move sobre a circunferência x^2+y^2=9, no sentido anti-horário, do seguinte modo:
três voltas completas a partir do ponto (3,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as equações paramétricas que descrevem o caminho de uma partícula que se movimenta em uma circunferência definida por . A partícula faz três voltas completas no sentido anti-horário, começando do ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como as equações paramétricas funcionam para movimentos circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que essa circunferência representa. A equação descreve um círculo com raio 3 (já que ), centrado na origem . Para descrever o movimento da partícula ao longo desse círculo, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno, que naturalmente descrevem movimentos circulares.

Passo 3

As equações paramétricas para um círculo com raio x(t) = r cdot cos(t) são dadas por:
y(t) = r cdot sin(t)
Aqui, é um parâmetro que geralmente representa o ângulo em radianos, e conforme varia, a partícula se movimenta ao redor do círculo.

Passo 4

No nosso caso, o raio x(t) = 3 cdot cos(t) é 3, então substituímos na fórmula:
y(t) = 3 cdot sin(t)
Isso nos dá as equações paramétricas básicas para o movimento circular.

Passo 5

Agora, precisamos considerar que a partícula faz três voltas completas. Cada volta completa corresponde a um aumento de radianos. Então, três voltas representam radianos. Isso significa que o parâmetro vai variar de até .

Resposta

As equações paramétricas para a trajetória da partícula são:
x(t) = 3 cos(t)
y(t) = 3 sin(t)
onde varia de a radianos, representando as três voltas completas no sentido anti-horário a partir do ponto .

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