Encontre o determinante da matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o determinante da matriz que tem os elementos a na diagonal principal e b nas outras posições. Esse tipo de matriz é bem comum em álgebra linear e tem algumas propriedades legais que facilitam a nossa vida na hora de calcular o determinante. Vamos usar alguns conceitos básicos de determinantes e matrizes para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a estrutura da matriz:
Essa é uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a a e todos os outros elementos são iguais a b. Esse tipo de matriz é conhecida como matriz de Toeplitz ou matriz homogênea.

Passo 3

Para calcular o determinante dessa matriz, vamos usar uma fórmula específica para matrizes desse tipo. A fórmula geral para o determinante de uma matriz com a na diagonal e b nos demais elementos é:
Aqui, é o tamanho da matriz, ou seja, o número de linhas (ou colunas).

Passo 4

No nosso caso, a matriz é , então . Vamos substituir esses valores na fórmula:
Simplificando:

Resposta

O determinante da matriz é .

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