Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de com o eixo positivo.
(b) Uma reta vertical pelo ponto .

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede para decidir se cada curva é mais fácil de descrever usando equações polares ou cartesianas. Depois, a gente escreve a equação da curva escolhida. Vamos precisar entender as diferenças entre essas duas formas de equação e como elas se aplicam a linhas específicas.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a): Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de com o eixo positivo.
Primeiro, pensar em equação polar ou cartesiana. Como a reta passa pela origem e forma um ângulo específico com o eixo , a forma polar é mais direta. Em coordenadas polares, uma reta que passa pela origem é descrita simplesmente pelo ângulo que ela forma com o eixo .
A equação polar de uma reta que passa pela origem e faz um ângulo com o eixo é:
Onde é o ângulo dado. No nosso caso, .
Então, a equação polar fica:

Passo 3

Agora, vamos para a letra (b): *Uma reta vertical pelo ponto ((3,3)*.
Aqui, a reta é vertical, o que significa que o seu é constante. Vamos analisar qual formato é mais fácil de usar.
Em coordenadas cartesianas, uma reta vertical é simples de representar porque todos os pontos na reta têm o mesmo valor de . Já em coordenadas polares, uma reta vertical não é tão direta para expressar, pois envolve funções mais complicadas.
Portanto, a equação cartesiana é mais prática aqui. Para uma reta vertical passando por , a equação é simplesmente:
No nosso caso, o ponto dado é , então a reta vertical passa por .
Então, a equação cartesiana é:

Resposta

(a) Equação polar:
(b) Equação cartesiana:

Exercícios relacionados

Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera . .) Resp.: .
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.: .
Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido definido por:
Resp.: .
Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Um círculo com raio 5 e centro .
(b) Um círculo com centro na origem e raio 4.