Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de
com o eixo
positivo.
(b) Uma reta vertical pelo ponto
.
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de
(b) Uma reta vertical pelo ponto
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver um exercício que pede para decidir se cada curva é mais fácil de descrever usando equações polares ou cartesianas. Depois, a gente escreve a equação da curva escolhida. Vamos precisar entender as diferenças entre essas duas formas de equação e como elas se aplicam a linhas específicas.
Passo 2
Vamos começar com a letra (a): Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de
com o eixo
positivo.
Primeiro, pensar em equação polar ou cartesiana. Como a reta passa pela origem e forma um ângulo específico com o eixo
, a forma polar é mais direta. Em coordenadas polares, uma reta que passa pela origem é descrita simplesmente pelo ângulo que ela forma com o eixo
.
A equação polar de uma reta que passa pela origem e faz um ângulo
com o eixo
é:
Onde
é o ângulo dado. No nosso caso,
.
Então, a equação polar fica:
Passo 3
Agora, vamos para a letra (b): *Uma reta vertical pelo ponto ((3,3)*.
Aqui, a reta é vertical, o que significa que o seu
é constante. Vamos analisar qual formato é mais fácil de usar.
Em coordenadas cartesianas, uma reta vertical é simples de representar porque todos os pontos na reta têm o mesmo valor de
. Já em coordenadas polares, uma reta vertical não é tão direta para expressar, pois envolve funções mais complicadas.
Portanto, a equação cartesiana é mais prática aqui. Para uma reta vertical passando por
, a equação é simplesmente:
No nosso caso, o ponto dado é
, então a reta vertical passa por
.
Então, a equação cartesiana é:
Resposta
(a) Equação polar:
(b) Equação cartesiana:
Exercícios relacionados
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido
, limitado abaixo pelo plano
e acima pela esfera
.
.) Resp.:
.
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.
Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido
definido por:
Resp.:
.
Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Um círculo com raio 5 e centro .
(b) Um círculo com centro na origem e raio 4.
(a) Um círculo com raio 5 e centro
(b) Um círculo com centro na origem e raio 4.