Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido E definido por:
x^2 + y^2 <= z <= raiz(x^2 + y^2)
Resp.: pi/6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido usando coordenadas esféricas. As condições que definem o sólido são:
Vamos precisar entender como transformar essas inequações para coordenadas esféricas e usar a fórmula de volume nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas esféricas, temos as relações:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever as condições do sólido em coordenadas esféricas. A primeira inequação:
Substituindo:
A segunda inequação:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a (completando toda a circunferência).
  • varia de a (de a ).
  • varia de a .

Passo 5

Agora, montamos a integral para o volume :

Passo 6

Vamos calcular a integral em relação a primeiro:
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Observamos que a integral em é simples:
Então, o volume fica:

Passo 8

Para resolver a integral em , fazemos a substituição , então . Ajustando a integral:

Passo 9

Integrando termo a termo:
Então:

Passo 10

Substituindo os limites:
Para :
Para :

Passo 11

Calculando o volume:

Resposta

O volume do sólido é .

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