Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido
definido por:
Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido
usando coordenadas esféricas. As condições que definem o sólido são:
Vamos precisar entender como transformar essas inequações para coordenadas esféricas e usar a fórmula de volume nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas esféricas, temos as relações:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever as condições do sólido
em coordenadas esféricas. A primeira inequação:
Substituindo:
A segunda inequação:
Substituindo:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de a (completando toda a circunferência). -
varia de a (de a ). -
varia de a .
Passo 5
Agora, montamos a integral para o volume
:
Passo 6
Vamos calcular a integral em relação a
primeiro:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Observamos que a integral em
é simples:
Então, o volume fica:
Passo 8
Para resolver a integral em
, fazemos a substituição
, então
. Ajustando a integral:
Passo 9
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 10
Substituindo os limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 11
Calculando o volume:
Resposta
O volume do sólido
é
.