Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido E, limitado abaixo pelo plano z = k e acima pela esfera z = raiz(1 - x^2 - y^2). 0 < k < 1.) Resp.: pi * (2 - 3k + k^3) / 3.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido que está limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera , onde . Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para formas circulares ou esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
A esfera fica:

Passo 3

O sólido está entre o plano e a esfera . Para encontrar os limites de , igualamos as duas equações:
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
O termo é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:

Passo 7

Primeira integral:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, :

Passo 8

Segunda integral:

Passo 9

Agora, juntando as partes:

Passo 10

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido é .

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