Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido
, limitado abaixo pelo plano
e acima pela esfera
.
.) Resp.:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o volume de um sólido
que está limitado abaixo pelo plano
e acima pela esfera
, onde
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para formas circulares ou esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
A esfera
fica:
Passo 3
O sólido
está entre o plano
e a esfera
. Para encontrar os limites de
, igualamos as duas equações:
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
O termo
é o jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, o volume fica:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 7
Primeira integral:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
:
Passo 8
Segunda integral:
Passo 9
Agora, juntando as partes:
Passo 10
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.
Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas
e
e pela circunferência
. Resp.
.
Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de com o eixo
positivo.
(b) Uma reta vertical pelo ponto .
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de
(b) Uma reta vertical pelo ponto
Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido
definido por:
Resp.:
.