Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
integral0^4 integralraizx^2 e^y^3 d y d x
Resp.: e^8-13.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está definida como . O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e reescrever a integral com a ordem invertida.

Passo 2

Vamos identificar a região de integração no plano . A variável varia de 0 a 4, e para cada , varia de a 2. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde está entre e 2, e está entre 0 e 4.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . A condição pode ser reescrita como . Além disso, varia de a . Portanto, a nova ordem de integração será .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a integral0^y^2 e^y^3 , dx = e^y^3 integral0^y^2 dx = e^y^3 cdot y^2 :
integral0^2 e^y^3 cdot y^2 , dy
Portanto, a integral dupla fica:

Passo 5

Para resolver a integral u = y^3 implies du = 3y^2 dy implies y^2 dy = du3 , fazemos uma substituição:
13 integral0^8 e^u , du = 13 [ e^u ]0^8 = 13 (e^8 - 1)
Substituindo, temos:

Resposta

e^8 - 13

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