Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está definida como
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e reescrever a integral com a ordem invertida.
Passo 2
Vamos identificar a região de integração no plano
. A variável
varia de 0 a 4, e para cada
,
varia de
a 2. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde
está entre
e 2, e
está entre 0 e 4.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. A condição
pode ser reescrita como
. Além disso,
varia de
a
. Portanto, a nova ordem de integração será
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
:
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 5
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição:
Substituindo, temos:
Resposta
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Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla
em que
é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas
e
e pela circunferência
. Resp.
.
Calcule a integral
em que
é o sólido abaixo do paraboloide
e dentro do cilindro
. Resp.:
.
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido
, limitado abaixo pelo plano
e acima pela esfera
.
.) Resp.:
.
Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de com o eixo
positivo.
(b) Uma reta vertical pelo ponto .
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de
(b) Uma reta vertical pelo ponto