Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está definida como
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e reescrever a integral com a ordem invertida.
Passo 2
Vamos identificar a região de integração no plano
. A variável
varia de 0 a 4, e para cada
,
varia de
a 2. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde
está entre
e 2, e
está entre 0 e 4.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. A condição
pode ser reescrita como
. Além disso,
varia de
a
. Portanto, a nova ordem de integração será
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
:
Portanto, a integral dupla fica:
Passo 5
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição:
Substituindo, temos: