Calcule a integral, trocando a ordem de integração:
Resp.: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde a ordem de integração está definida como . O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar identificar os limites de integração e reescrever a integral com a ordem invertida.

Passo 2

Vamos identificar a região de integração no plano . A variável varia de 0 a 4, e para cada , varia de a 2. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde está entre e 2, e está entre 0 e 4.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . A condição pode ser reescrita como . Além disso, varia de a . Portanto, a nova ordem de integração será .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a :
Portanto, a integral dupla fica:

Passo 5

Para resolver a integral , fazemos uma substituição:
Substituindo, temos:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando coordenadas polares calcule a integral dupla em que é a região plana, no primeiro quadrante, limitada pelas retas e e pela circunferência . Resp. .
Calcule a integral
em que é o sólido abaixo do paraboloide e dentro do cilindro . Resp.: .
Calcule, utilizando coordenadas cilíndricas, o volume do sólido , limitado abaixo pelo plano e acima pela esfera . .) Resp.: .
Para cada uma das curvas descritas, decida se a curva seria mais facilmente dada por uma equação polar ou por uma equação cartesiana. Então, escreva uma equação para a curva.
(a) Uma reta que passa pela origem e forma um ângulo de com o eixo positivo.
(b) Uma reta vertical pelo ponto .