Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de x, determine a derivada de y em função de x em função de t, os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
3 - x = t^3 + 1, y = t^2 - 2t, t em R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente, dado um conjunto de curvas parametrizadas por , determinar:
  1. A derivada de em relação a em função de .
  2. Os pontos onde as retas tangentes são horizontais e verticais.
  3. Os intervalos onde a concavidade da curva está voltada para cima ou para baixo.
Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções parametrizadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que nos foram dadas:
Vamos reescrever a primeira equação para expressar em termos de :
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Como e estão em função de , vamos usar a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos e :
Então,
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde as retas tangentes são horizontais. Isso acontece quando .
Como o denominador nunca é zero (exceto quando , mas o numerador precisa ser zero para a tangente ser horizontal), temos:
Então, há uma reta tangente horizontal quando .

Passo 5

Para encontrar onde as retas tangentes são verticais, procuramos onde não está definida, ou seja, quando .
Então, há uma reta tangente vertical quando .

Passo 6

Agora, vamos determinar os intervalos onde a concavidade da curva está voltada para cima ou para baixo. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, encontramos a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Onde e , então:
Aplicando a regra:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada é:

Passo 7

Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
Como o denominador depende do sinal de , precisamos considerar casos:
  1. Para :
    • O denominador é positivo ( ).
    • O numerador :
      • Se , .
      • Se , .
    • Então:
      • : ⇒ Concavidade para cima.
      • : ⇒ Concavidade para baixo.
  2. Para :
    • O denominador é negativo ( ).
    • O numerador :
      • Para qualquer , .
    • Então:
      • : ⇒ Concavidade para baixo.
  3. Para :
    • A segunda derivada não está definida, indicando um ponto de inflexão ou descontinuidade na concavidade.

Resposta

A reta tangente é horizontal quando .
A reta tangente é vertical quando .
A concavidade da curva está:
  • Voltada para cima quando .
  • Voltada para baixo quando ou .

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