Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente, dado um conjunto de curvas parametrizadas por , determinar:
A derivada de em relação a em função de .
Os pontos onde as retas tangentes são horizontais e verticais.
Os intervalos onde a concavidade da curva está voltada para cima ou para baixo.
Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções parametrizadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que nos foram dadas:
Vamos reescrever a primeira equação para expressar em termos de :
Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Como e estão em função de , vamos usar a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos e :
Então,
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde as retas tangentes são horizontais. Isso acontece quando .
Como o denominador nunca é zero (exceto quando , mas o numerador precisa ser zero para a tangente ser horizontal), temos:
Então, há uma reta tangente horizontal quando .
Passo 5
Para encontrar onde as retas tangentes são verticais, procuramos onde não está definida, ou seja, quando .
Então, há uma reta tangente vertical quando .
Passo 6
Agora, vamos determinar os intervalos onde a concavidade da curva está voltada para cima ou para baixo. Para isso, precisamos da segunda derivada .
Primeiro, encontramos a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente:
Onde e , então:
Aplicando a regra:
Simplificando:
Agora, a segunda derivada é:
Passo 7
Vamos analisar o sinal da segunda derivada para determinar a concavidade:
Como o denominador depende do sinal de , precisamos considerar casos:
Para :
O denominador é positivo ().
O numerador :
Se , ⇒ .
Se , ⇒ .
Então:
: ⇒ Concavidade para cima.
: ⇒ Concavidade para baixo.
Para :
O denominador é negativo ().
O numerador :
Para qualquer , ⇒ .
Então:
: ⇒ Concavidade para baixo.
Para :
A segunda derivada não está definida, indicando um ponto de inflexão ou descontinuidade na concavidade.