Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de
, determine a derivada de
em função de
em função de
, os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações que descrevem uma curva:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
em função de
, identificar os pontos onde as retas tangentes são horizontais e verticais, e descobrir os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para deixar
e
expressos diretamente em função de
:
Isso facilita o processo de encontrar as derivadas necessárias.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Aqui, usamos as regras básicas de derivação: a derivada de uma constante é zero, a derivada de
é
, e a derivada de
é
.
Passo 4
A derivada de
em relação a
, representada por
, pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a cada valor de
.
Passo 5
Para encontrar os pontos onde as retas tangentes são horizontais, precisamos que a inclinação seja zero, ou seja,
. Observando a expressão de
, vemos que o numerador é constante (não depende de
), então não há valores de
que tornem a derivada igual a zero. Portanto, não há retas tangentes horizontais nessa curva.
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos com retas tangentes verticais, precisamos que o denominador da derivada seja zero, já que isso faz com que
seja indefinida (infinita). Então, resolvemos:
No valor
, a derivada
é indefinida, indicando uma reta tangente vertical nesse ponto.
Passo 7
Vamos agora determinar os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada
. Primeiro, vamos reescrever
de forma mais simples:
Simplificando:
Agora, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente e simplificando, encontramos
. Porém, para simplificar, vamos analisar o sinal de
sem calcular explicitamente.
Quando
:
-
-
- Portanto,
e a concavidade está voltada para baixo.
Quando
:
-
-
- Portanto,
e a concavidade está voltada para cima.
Resposta
A derivada de
em função de
é:
Há uma reta tangente vertical no ponto correspondente a
. Não existem retas tangentes horizontais. A concavidade da curva está voltada para baixo quando
e voltada para cima quando
.