Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações que descrevem uma curva:
Nosso objetivo é encontrar a derivada de em relação a em função de , identificar os pontos onde as retas tangentes são horizontais e verticais, e descobrir os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para deixar e expressos diretamente em função de :
Isso facilita o processo de encontrar as derivadas necessárias.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Aqui, usamos as regras básicas de derivação: a derivada de uma constante é zero, a derivada de é , e a derivada de é .
Passo 4
A derivada de em relação a , representada por , pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Essa expressão nos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto correspondente a cada valor de .
Passo 5
Para encontrar os pontos onde as retas tangentes são horizontais, precisamos que a inclinação seja zero, ou seja, . Observando a expressão de , vemos que o numerador é constante (não depende de ), então não há valores de que tornem a derivada igual a zero. Portanto, não há retas tangentes horizontais nessa curva.
Passo 6
Agora, para encontrar os pontos com retas tangentes verticais, precisamos que o denominador da derivada seja zero, já que isso faz com que seja indefinida (infinita). Então, resolvemos:
No valor , a derivada é indefinida, indicando uma reta tangente vertical nesse ponto.
Passo 7
Vamos agora determinar os intervalos onde a concavidade está voltada para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada . Primeiro, vamos reescrever de forma mais simples:
Simplificando:
Agora, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do quociente e simplificando, encontramos . Porém, para simplificar, vamos analisar o sinal de sem calcular explicitamente.
Quando :
Portanto, e a concavidade está voltada para baixo.
Quando :
Portanto, e a concavidade está voltada para cima.
Resposta
A derivada de em função de é:
Há uma reta tangente vertical no ponto correspondente a . Não existem retas tangentes horizontais. A concavidade da curva está voltada para baixo quando e voltada para cima quando .