Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico de um campo vetorial dado por . Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar esses vetores no plano, observando a direção e o tamanho de cada vetor em diferentes pontos .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente do vetor significa. Aqui, o vetor tem duas partes: a componente horizontal é sempre 3, e a componente vertical depende de x. Isso significa que, para qualquer ponto no plano, o vetor apontará 3 unidades para a direita e uma quantidade igual ao valor de x para cima ou para baixo.

Passo 3

Vamos escolher alguns pontos para visualizar melhor. Por exemplo:
  • Quando , o vetor é : aponta 3 unidades para a direita e 0 para cima, ou seja, completamente horizontal.
  • Quando , o vetor é : 3 para a direita e 1 para cima.
  • Quando , o vetor é : 3 para a direita e 1 para baixo.
  • Quando , o vetor é : 3 para a direita e 2 para cima.
  • E assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos pensar em como esses vetores se comportam à medida que nos movemos pelo eixo x. Vemos que a componente horizontal é constante, sempre 3, o que significa que sempre apontam na mesma direção horizontal. Já a componente vertical aumenta ou diminui proporcionalmente a x. Isso cria um padrão onde os vetores se inclinam mais para cima ou para baixo conforme nos afastamos do eixo y.

Passo 5

Para esboçar o campo vetorial, podemos desenhar vários vetores em diferentes pontos do plano, seguindo as regras que vimos:
  • No ponto (0,0), desenhamos uma seta para a direita com tamanho 3.
  • No ponto (1,0), uma seta para a direita e um pouquinho para cima.
  • No ponto (-1,0), uma seta para a direita e um pouquinho para baixo.
  • No ponto (2,0), uma seta para a direita e mais para cima.
  • E assim por diante para outros valores de x.

Passo 6

Com esses vetores desenhados em vários pontos, veremos que o campo vetorial parece uma espécie de “fluxo” horizontal com pequenas variações para cima e para baixo dependendo do valor de x. Isso ajuda a visualizar como o campo vetorial se comporta no plano.

Resposta

O gráfico do campo vetorial consiste em vetores que sempre apontam 3 unidades para a direita e variam verticalmente em função de x. À medida que x aumenta, os vetores se inclinam mais para cima, e à medida que x diminui, se inclinam para baixo. O esboço mostra um fluxo horizontal constante com inclinações proporcionais a x em todo o plano.

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