Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o gráfico de um campo vetorial que é dado por . Primeiro, vamos entender que um campo vetorial é como um mapa que associa a cada ponto do plano um vetor . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como manipular vetores e entender o que cada componente do vetor representa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão do vetor . A equação que temos é . Para isolar , dividimos ambos os lados por 3:
Então, para cada ponto , o vetor tem componentes na direção e na direção .

Passo 3

Agora, vamos entender o que esses componentes representam. O termo significa que o vetor aponta na direção negativa de com uma magnitude que é um terço de . Já indica que na direção , o vetor aponta na mesma direção de , mas também com uma magnitude reduzida para um terço de .

Passo 4

Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e desenhar os vetores correspondentes. Vamos selecionar, por exemplo, os pontos , , , e .
  • Ponto (1, 1):
    Esse vetor aponta para a esquerda e para cima, com magnitude pequena.
  • Ponto (2, 0):
    Esse vetor aponta diretamente para a esquerda.
  • Ponto (-1, -1):
    Esse vetor aponta para a direita e para baixo.
  • Ponto (0, 2):
    Esse vetor aponta diretamente para cima.

Passo 5

Com esses vetores desenhados nos respectivos pontos, podemos identificar um padrão. Observamos que os vetores:
  • Na direção : Apontam para a esquerda se é positivo e para a direita se é negativo.
  • Na direção : Apontam para cima sempre, já que o sinal depende diretamente de .
Além disso, a magnitude dos vetores aumenta conforme aumentam os valores de e , mas sempre divididos por 3, o que significa que os vetores são relativamente pequenos.

Passo 6

Então, ao juntar todos esses vetores, o campo vetorial mostra um padrão de vetores que convergem ou divergem dependendo dos sinais de e . No caso específico dessa função, os vetores tendem a apontar para dentro na direção e para fora na direção , formando um tipo de fluxo diagonal no plano.

Resposta

O gráfico do campo vetorial consiste em vetores que, em cada ponto , apontam para a esquerda ao longo do eixo e para cima ao longo do eixo , com magnitude proporcional a e respectivamente. Ao esboçar, os vetores formarão um padrão onde apontam diagonalmente para dentro na direção e para fora na direção .

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Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Verifique se é uma função potencial de .
(a) e
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3.