Seja
um campo vetorial. Mostre que se
é uma curva fechada de interior
e
é um vetor perpendicular unitário a cada ponto da curva C , então:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e uma curva fechada
que delimita uma região interior
. A questão quer que mostremos que a integral de linha de
ao longo de
em relação ao vetor normal
é igual à integral dupla do divergente de
sobre
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona integrais de superfície com integrais de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Em duas dimensões, ele nos diz que:
Aqui,
representa a integral de fluxo do campo
através da curva fechada
, onde
é o vetor normal unitário à curva. A integral dupla
representa a integral do divergente de
sobre a região
delimitada por
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que é o divergente de
. Se
, então:
O divergente nos dá uma medida da “taxa de expansão” do campo vetorial
em cada ponto da região.
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência diretamente à nossa situação, temos que a integral de fluxo de
através da curva
é igual à integral do divergente de
sobre a região
. Ou seja:
Isso é exatamente o que a questão nos pede para mostrar.
Resposta
Assim, mostramos que: