Seja um campo vetorial. Mostre que se é uma curva fechada de interior e é um vetor perpendicular unitário a cada ponto da curva C , então:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região interior . A questão quer que mostremos que a integral de linha de ao longo de em relação ao vetor normal é igual à integral dupla do divergente de sobre . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Em duas dimensões, ele nos diz que:
Aqui, representa a integral de fluxo do campo através da curva fechada , onde é o vetor normal unitário à curva. A integral dupla representa a integral do divergente de sobre a região delimitada por .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que é o divergente de . Se , então:
O divergente nos dá uma medida da “taxa de expansão” do campo vetorial em cada ponto da região.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência diretamente à nossa situação, temos que a integral de fluxo de através da curva é igual à integral do divergente de sobre a região . Ou seja:
Isso é exatamente o que a questão nos pede para mostrar.

Resposta

Assim, mostramos que:

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Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
3.
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
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