Seja F: R^2 R^2 um campo vetorial. Mostre que se C é uma curva fechada de interior D e n(x, y) é um vetor perpendicular unitário a cada ponto da curva C , então:
ointC F cdot n d r=integral duplaD nabla cdot F d A

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região interior . A questão quer que mostremos que a integral de linha de ao longo de em relação ao vetor normal é igual à integral dupla do divergente de sobre . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona integrais de superfície com integrais de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Em duas dimensões, ele nos diz que:
ointC F cdot n , ds = integral duplaD nabla cdot F , dA
Aqui, representa a integral de fluxo do campo através da curva fechada , onde é o vetor normal unitário à curva. A integral dupla representa a integral do divergente de sobre a região delimitada por .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que é o divergente de nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y . Se , então:
O divergente nos dá uma medida da “taxa de expansão” do campo vetorial em cada ponto da região.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência diretamente à nossa situação, temos que a integral de fluxo de ointC F cdot n , ds = integral duplaD nabla cdot F , dA através da curva é igual à integral do divergente de sobre a região . Ou seja:
Isso é exatamente o que a questão nos pede para mostrar.

Resposta

Assim, mostramos que:
ointC F cdot n , dr = integral duplaD nabla cdot F , dA

Exercícios relacionados