Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com curvas onde pode ser expressa em função de , mas nessa situação temos as funções paramétricas e . O conteúdo que vamos usar é derivada de funções paramétricas. Precisamos calcular as derivadas de e em relação a , encontrar onde as retas tangentes são horizontais ou verticais e analisar a concavidade da curva. Vamos precisar lembrar como fazer derivadas paramétricas e usar essas informações para responder as perguntas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função dada para é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , . A função para é:
Derivando em relação a :

Passo 4

Para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Vamos descobrir onde as retas tangentes são horizontais. Isso acontece quando :
Então, as retas tangentes são horizontais nos valores de e .

Passo 6

Agora, vamos ver onde as retas tangentes são verticais. Isso ocorre quando :
Portanto, a reta tangente é vertical quando .

Passo 7

Para analisar a concavidade da curva, precisamos da segunda derivada de em relação a . Primeiro, vamos encontrar :
Calculando :
Então:
Para determinar a concavidade:
  • A concavidade está voltada para cima quando .
  • A concavidade está voltada para baixo quando .
Analisando a expressão :
  • O numerador é sempre positivo.
  • O denominador depende do sinal de :
    • Se , (concavidade para cima).
    • Se , (concavidade para baixo).

Resposta

A derivada de em função de é . As retas tangentes são horizontais quando , verticais quando . A concavidade da curva está voltada para cima quando e para baixo quando .

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3.
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