Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de
, determine a derivada de
em função de
em função de
, os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com curvas onde
pode ser expressa em função de
, mas nessa situação temos as funções paramétricas
e
. O conteúdo que vamos usar é derivada de funções paramétricas. Precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, encontrar onde as retas tangentes são horizontais ou verticais e analisar a concavidade da curva. Vamos precisar lembrar como fazer derivadas paramétricas e usar essas informações para responder as perguntas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função dada para
é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
,
. A função para
é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos descobrir onde as retas tangentes são horizontais. Isso acontece quando
:
Então, as retas tangentes são horizontais nos valores de
e
.
Passo 6
Agora, vamos ver onde as retas tangentes são verticais. Isso ocorre quando
:
Portanto, a reta tangente é vertical quando
.
Passo 7
Para analisar a concavidade da curva, precisamos da segunda derivada de
em relação a
. Primeiro, vamos encontrar
:
Calculando
:
Então:
Para determinar a concavidade:
- A concavidade está voltada para cima quando
. - A concavidade está voltada para baixo quando
.
Analisando a expressão
:
- O numerador
é sempre positivo. - O denominador
depende do sinal de : - Se
, (concavidade para cima). - Se
, (concavidade para baixo).
- Se
Resposta
A derivada de
em função de
é
. As retas tangentes são horizontais quando
, verticais quando
. A concavidade da curva está voltada para cima quando
e para baixo quando
.