Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
F(x, y) = (2 x, 3 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico do campo vetorial . O conteúdo aqui envolve Campos Vetoriais, que são funções que atribuem um vetor a cada ponto do plano. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente do vetor depende das coordenadas x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, o vetor em cada ponto (x, y) tem duas partes: a componente no eixo x é e a componente no eixo y é . Isso significa que o vetor vai variar dependendo de onde você está no plano.

Passo 3

Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular o vetor correspondente. Por exemplo:
  • Em (1, 1),
  • Em ,
  • Em ,

Passo 4

Vamos plotar esses vetores no plano cartesiano. Cada vetor começa no ponto (x, y) e vai até . Isso ajuda a visualizar como os vetores se comportam em diferentes regiões.

Passo 5

Observando os vetores calculados, percebemos que:
  • Quanto maior o valor de x, maior a componente no eixo x.
  • Quanto maior o valor de y, maior a componente no eixo y.
    Isso indica que os vetores crescem em magnitude conforme nos afastamos da origem.

Passo 6

Vamos também analisar a direção dos vetores. Como ambas as componentes e são positivas quando x e y são positivos, os vetores apontam para cima e para a direita no primeiro quadrante. Se x ou y forem negativos, a direção muda de acordo.

Resposta

O gráfico do campo vetorial consiste em vetores que se originam de cada ponto (x, y) do plano e têm componentes proporcionais a x e y. Isso resulta em um campo de vetores que apontam para longe da origem, com a magnitude aumentando à medida que nos afastamos dela, refletindo uma expansão nas direções dos eixos x e y.

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