Beleza, vamos resolver esse exercício de esboçar o gráfico do campo vetorial . O conteúdo aqui envolve Campos Vetoriais, que são funções que atribuem um vetor a cada ponto do plano. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente do vetor depende das coordenadas x e y.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, o vetor em cada ponto (x, y) tem duas partes: a componente no eixo x é e a componente no eixo y é . Isso significa que o vetor vai variar dependendo de onde você está no plano.
Passo 3
Para esboçar o campo vetorial, vamos escolher alguns pontos no plano e calcular o vetor correspondente. Por exemplo:
Em (1, 1),
Em ,
Em ,
Passo 4
Vamos plotar esses vetores no plano cartesiano. Cada vetor começa no ponto (x, y) e vai até . Isso ajuda a visualizar como os vetores se comportam em diferentes regiões.
Passo 5
Observando os vetores calculados, percebemos que:
Quanto maior o valor de x, maior a componente no eixo x.
Quanto maior o valor de y, maior a componente no eixo y.
Isso indica que os vetores crescem em magnitude conforme nos afastamos da origem.
Passo 6
Vamos também analisar a direção dos vetores. Como ambas as componentes e são positivas quando x e y são positivos, os vetores apontam para cima e para a direita no primeiro quadrante. Se x ou y forem negativos, a direção muda de acordo.
Resposta
O gráfico do campo vetorial consiste em vetores que se originam de cada ponto (x, y) do plano e têm componentes proporcionais a x e y. Isso resulta em um campo de vetores que apontam para longe da origem, com a magnitude aumentando à medida que nos afastamos dela, refletindo uma expansão nas direções dos eixos x e y.