Usando integrais de superfícies, calcule a área da superfície do paraboloide limitado por 4 .
Passo 1
Então, a gente vai calcular a área de uma superfície do tipo paraboloide, dada pela equação . Essa área está limitada até . Vamos usar integrais de superfície para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula de área para integrais de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície. O paraboloide é uma parábola em todas as direções. Como estamos limitando por , isso significa que estamos considerando apenas a parte da superfície onde , ou seja, dentro de um círculo de raio 2 no plano .
Passo 3
Para calcular a área usando integrais de superfície, a gente pode mudar para coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular. Em coordenadas polares, e , e . A fórmula para a área da superfície é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Em coordenadas polares, e . Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , então ou . Quando , e quando , . A integral vira:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, voltamos à integral em :
Resposta
A área da superfície do paraboloide limitado por é: