Usando integrais de superfícies, calcule a área da superfície do paraboloide limitado por 4 .

Passo 1

Então, a gente vai calcular a área de uma superfície do tipo paraboloide, dada pela equação . Essa área está limitada até . Vamos usar integrais de superfície para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como parametrizar a superfície e aplicar a fórmula de área para integrais de superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície. O paraboloide é uma parábola em todas as direções. Como estamos limitando por , isso significa que estamos considerando apenas a parte da superfície onde , ou seja, dentro de um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Para calcular a área usando integrais de superfície, a gente pode mudar para coordenadas polares, já que a superfície tem simetria circular. Em coordenadas polares, e , e . A fórmula para a área da superfície é:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Em coordenadas polares, e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo uma substituição , então ou . Quando , e quando , . A integral vira:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, voltamos à integral em :

Resposta

A área da superfície do paraboloide limitado por é:

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Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
6.
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