Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de
, determine a derivada de
em função de
em função de
, os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas equações que relacionam
,
e um parâmetro
:
Nosso objetivo é:
- Encontrar a derivada de
em relação a , ou seja, , em função de . - Identificar os pontos onde as retas tangentes à curva são horizontais e verticais.
- Determinar os intervalos onde a concavidade da curva está voltada para cima ou para baixo.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas paramétricas e análise de concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em função de
a partir da primeira equação:
Já temos
diretamente em função de
:
Então, temos as funções paramétricas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas:
Primeiro, calculamos
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da derivada paramétrica:
Vamos simplificar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Isso acontece quando
:
Portanto, há uma reta tangente horizontal quando
.
Passo 6
Para encontrar onde a reta tangente é vertical, precisamos identificar onde
, já que
seria infinito nesse caso.
Observando a expressão de
:
Essa derivada só é zero se
for infinito, o que ocorre quando
tende a zero. Contudo,
está definido, então não há pontos onde
. Portanto, não há retas tangentes verticais na curva.
Passo 7
Para determinar a concavidade da curva, vamos calcular a segunda derivada
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, usamos a fórmula da segunda derivada paramétrica:
A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a concavidade está voltada para cima. - Se
, a concavidade está voltada para baixo.
Então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
. Há uma reta tangente horizontal no ponto correspondente a
. Não existem retas tangentes verticais na curva. A concavidade da curva está voltada para cima quando
e para baixo quando
.
Exercícios relacionados
Calcule
e
em cada item.
(a)
(a)
Seja
a curva parametrizada pela equação
. Calcule as seguintes integrais de linha com relação a
e com relação a y de
.
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b)
(b)
Determine o comprimento de arco da curva
variando de
a
.