Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos duas equações que relacionam , e um parâmetro :
Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , em função de .
  2. Identificar os pontos onde as retas tangentes à curva são horizontais e verticais.
  3. Determinar os intervalos onde a concavidade da curva está voltada para cima ou para baixo.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas paramétricas e análise de concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em função de a partir da primeira equação:
Já temos diretamente em função de :
Então, temos as funções paramétricas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra da cadeia para derivadas paramétricas:
Primeiro, calculamos e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da derivada paramétrica:
Vamos simplificar:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Isso acontece quando :
Portanto, há uma reta tangente horizontal quando .

Passo 6

Para encontrar onde a reta tangente é vertical, precisamos identificar onde , já que seria infinito nesse caso.
Observando a expressão de :
Essa derivada só é zero se for infinito, o que ocorre quando tende a zero. Contudo, está definido, então não há pontos onde . Portanto, não há retas tangentes verticais na curva.

Passo 7

Para determinar a concavidade da curva, vamos calcular a segunda derivada . Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, usamos a fórmula da segunda derivada paramétrica:
A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a concavidade está voltada para cima.
  • Se , a concavidade está voltada para baixo.
Então:

Resposta

A derivada de em relação a é . Há uma reta tangente horizontal no ponto correspondente a . Não existem retas tangentes verticais na curva. A concavidade da curva está voltada para cima quando e para baixo quando .

Exercícios relacionados

Calcule e em cada item.
(a)
Seja a curva parametrizada pela equação . Calcule as seguintes integrais de linha com relação a e com relação a y de .
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b)
Determine o comprimento de arco da curva variando de a .