Calcule
e
em cada item.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a divergência (
) e o rotacional (
) do campo vetorial
. Para isso, vamos precisar entender como calcular essas duas operações vetoriais utilizando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação às suas respectivas variáveis:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado pelo vetor:
Vamos calcular cada componente:
Então, a primeira componente do rotacional é
.
Para a segunda componente:
Então, a segunda componente é
.
Para a terceira componente:
Então, a terceira componente é
.
Portanto, o rotacional de
é:
Resposta
A divergência de
é
e o rotacional de
é
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva parametrizada pela equação
. Calcule as seguintes integrais de linha com relação a
e com relação a y de
.
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de
, determine a derivada de
em função de
em função de
, os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b)
(b)