Calcule e em cada item.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a divergência ( ) e o rotacional ( ) do campo vetorial . Para isso, vamos precisar entender como calcular essas duas operações vetoriais utilizando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente em relação às suas respectivas variáveis:
No nosso caso, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado pelo vetor:
Vamos calcular cada componente:
Então, a primeira componente do rotacional é .
Para a segunda componente:
Então, a segunda componente é .
Para a terceira componente:
Então, a terceira componente é .
Portanto, o rotacional de é:

Resposta

A divergência de é e o rotacional de é .

Exercícios relacionados

Seja a curva parametrizada pela equação . Calcule as seguintes integrais de linha com relação a e com relação a y de .
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b)