Determine o comprimento de arco da curva
variando de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva
quando
varia de 1 a 4. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de uma função. Vamos precisar calcular a derivada da função e fazer uma integral para descobrir esse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da curva em cada ponto.
A derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções de uma variável. A fórmula é:
Aqui,
e
. Vamos substituir
na fórmula:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Integrando
:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão de
a
:
Calculando dentro dos colchetes:
Subtraindo:
Passo 7
Dividindo por 27 para encontrar o comprimento do arco:
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
a
é aproximadamente 7,63 unidades.