Determine o comprimento de arco da curva variando de a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva quando varia de 1 a 4. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de uma função. Vamos precisar calcular a derivada da função e fazer uma integral para descobrir esse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da curva em cada ponto.
A derivada de é . Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções de uma variável. A fórmula é:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Integrando :
Voltando para :
Passo 6
Agora, vamos avaliar essa expressão de a :
Calculando dentro dos colchetes:
Subtraindo:
Passo 7
Dividindo por 27 para encontrar o comprimento do arco:
Resposta
O comprimento do arco da curva de a é aproximadamente 7,63 unidades.