Determine o comprimento de arco da curva f(x) = x^(3/2) com x variando de x = 1 a x = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva quando varia de 1 a 4. Para isso, vamos usar conhecimentos de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de uma função. Vamos precisar calcular a derivada da função e fazer uma integral para descobrir esse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da curva em cada ponto.
A derivada de é . Aplicando isso:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para funções de uma variável. A fórmula é:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então ou .
Substituindo na integral:
Integrando :
Voltando para :

Passo 6

Agora, vamos avaliar essa expressão de a :
Calculando dentro dos colchetes:
Subtraindo:

Passo 7

Dividindo por 27 para encontrar o comprimento do arco:

Resposta

O comprimento do arco da curva de a é aproximadamente 7,63 unidades.

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