Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b) ointC(x cos (y)) d x+(-y sen(x)) d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
ointC (x cos y) , dx + (-y sin x) , dy
Teorema de Green é uma ferramenta poderosa na matemática que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada P(x, y) = x cos y e Q(x, y) = -y sin x com uma integral dupla sobre a região limitada por . Para usar o Teorema de Green, precisamos identificar as funções e na integral dada:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green. O teorema diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Então, precisamos encontrar partial Qpartial x = partialpartial x (-y sin x) = -y cos x e partial Ppartial y = partialpartial y (x cos y) = -x sin y .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA = integral duplaD ( -y cos x - (-x sin y) ) , dA = integral duplaD (-y cos x + x sin y) , dA
Para prosseguir, precisamos saber qual é a região sobre a qual estamos integrando. Como o enunciado não especifica a curva , vamos assumir que seja uma curva fechada simples que delimita a região .

Passo 4

Sem a especificação explícita da curva ointC (x cos y) , dx + (-y sin x) , dy = integral duplaD (-y cos x + x sin y) , dA , não podemos calcular a integral dupla numericamente. Porém, podemos expressar a resposta final em termos da integral dupla sobre :
Essa é a forma geral da resposta usando o Teorema de Green. Para obter um valor numérico, precisaríamos dos limites específicos de .

Resposta

A integral dada, utilizando o Teorema de Green, é igual à integral dupla sobre a região ointC (x cos y) , dx + (-y sin x) , dy = integral duplaD (-y cos x + x sin y) , dA :

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