Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
Teorema de Green é uma ferramenta poderosa na matemática que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por . Para usar o Teorema de Green, precisamos identificar as funções e na integral dada:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green. O teorema diz que:
Então, precisamos encontrar e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Para prosseguir, precisamos saber qual é a região sobre a qual estamos integrando. Como o enunciado não especifica a curva , vamos assumir que seja uma curva fechada simples que delimita a região .

Passo 4

Sem a especificação explícita da curva , não podemos calcular a integral dupla numericamente. Porém, podemos expressar a resposta final em termos da integral dupla sobre :
Essa é a forma geral da resposta usando o Teorema de Green. Para obter um valor numérico, precisaríamos dos limites específicos de .

Resposta

A integral dada, utilizando o Teorema de Green, é igual à integral dupla sobre a região :

Exercícios relacionados

Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
Calcule e em cada item.
(a)
Determine o comprimento de arco da curva variando de a .
Esboce o gráfico dos seguintes campos vetoriais:
4.