Use o Teorema de Green para calcular as seguintes integrais.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Green para calcular a integral de linha
Teorema de Green é uma ferramenta poderosa na matemática que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. Para usar o Teorema de Green, precisamos identificar as funções
e
na integral dada:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green. O teorema diz que:
Então, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Para prosseguir, precisamos saber qual é a região
sobre a qual estamos integrando. Como o enunciado não especifica a curva
, vamos assumir que
seja uma curva fechada simples que delimita a região
.
Passo 4
Sem a especificação explícita da curva
, não podemos calcular a integral dupla numericamente. Porém, podemos expressar a resposta final em termos da integral dupla sobre
:
Essa é a forma geral da resposta usando o Teorema de Green. Para obter um valor numérico, precisaríamos dos limites específicos de
.
Resposta
A integral dada, utilizando o Teorema de Green, é igual à integral dupla sobre a região
: