Seja
a curva parametrizada pela equação
. Calcule as seguintes integrais de linha com relação a
e com relação a y de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva
parametrizada por
onde
vai de 0 a 1. Precisamos calcular duas integrais de linha para a função
: uma em relação a
e outra em relação a
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha em relação a
ou
envolve substituir as variáveis
e
pela parametrização dada. Nosso
nos dá
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
para usar na integral. Então,
Passo 4
Agora, substituímos
e
na função
pela parametrização:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral de linha, que é em relação a
. A fórmula da integral de linha em relação a
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral de linha, em relação a
. A fórmula é:
Substituindo:
Passo 8
Vamos integrar novamente:
Resposta
A integral de linha em relação a
é igual a
e a integral de linha em relação a
é igual a
.
Exercícios relacionados
Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)
(b)
Calcule
e
em cada item.
(a)
(a)
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de
, determine a derivada de
em função de
em função de
, os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana:
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana: