Seja a curva parametrizada pela equação . Calcule as seguintes integrais de linha com relação a e com relação a y de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada por onde vai de 0 a 1. Precisamos calcular duas integrais de linha para a função : uma em relação a e outra em relação a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha em relação a ou envolve substituir as variáveis e pela parametrização dada. Nosso nos dá e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a para usar na integral. Então,

Passo 4

Agora, substituímos e na função pela parametrização:

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral de linha, que é em relação a . A fórmula da integral de linha em relação a é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral de linha, em relação a . A fórmula é:
Substituindo:

Passo 8

Vamos integrar novamente:

Resposta

A integral de linha em relação a é igual a e a integral de linha em relação a é igual a .

Exercícios relacionados

Pra cada uma das curvas, indique uma equação cartesiana e esboce o gráfico :
Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(b)
Calcule e em cada item.
(a)
Para cada uma das curvas onde y pode ser expresso em função de , determine a derivada de em função de em função de , os pontos
onde as retas tangentes são horizontais, verticais e os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo e para cima sem calcular a função cartesiana: