Seja C a curva parametrizada pela equação r(t) = (2 t, 3 t^2), t in [0, 1]. Calcule as seguintes integrais de linha com relação a x e com relação a y de f(x, y) = x - y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva parametrizada por onde vai de 0 a 1. Precisamos calcular duas integrais de linha para a função : uma em relação a e outra em relação a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha em relação a ou envolve substituir as variáveis e pela parametrização dada. Nosso nos dá e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a para usar na integral. Então,

Passo 4

Agora, substituímos e na função pela parametrização:

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral de linha, que é em relação a . A fórmula da integral de linha em relação a é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral de linha, em relação a . A fórmula é:
Substituindo:

Passo 8

Vamos integrar novamente:

Resposta

A integral de linha em relação a é igual a e a integral de linha em relação a é igual a .

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