Verifique se phi(x, y) é uma função potencial de F(x, y).
(a) phi(x, y) = arctan(x * y) e F(x, y) = (y / (1 + x^2 * y^2), x / (1 + x^2 * y^2))

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a função é uma função potencial do campo vetorial . Aqui, estamos lidando com funções potenciais e campos vetoriais. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e e comparar com os componentes de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Para derivar , usamos a regra:
Aplicando a regra da cadeia:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a mesma regra da cadeia:

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, vamos comparar com os componentes do campo vetorial :
Observamos que:
Isso significa que:

Resposta

Sim, é uma função potencial do campo vetorial .

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