Calcule pelo menos 3 das seguintes integrais
(h) integralC y z d x-x z d y+x y d z C:(x(t), y(t), z(t))=(e^t, e^3 t, e^-t) t in[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, ou seja, estamos integrando uma função ao longo de uma curva no espaço 3D. A integral dada é:
integralC y z , dx - x z , dy + x y , dz
A curva (x(t), y(t), z(t)) = (e^t, e^3t, e^-t), t in [0, 1] está parametrizada por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a integral usando e calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de dxdt &= ddt e^t = e^t dydt &= ddt e^3t = 3e^3t dzdt &= ddt e^-t = -e^-t , dx = e^t , dt, dy = 3e^3t , dt, dz = -e^-t , dt e em relação a , pois elas nos dão , e :
Então:

Passo 3

Agora, vamos substituir integralC y z , dx - x z , dy + x y , dz = integral0^1 ( e^3t cdot e^-t cdot e^t ) dt - integral0^1 ( e^t cdot e^-t cdot 3e^3t ) dt + integral0^1 ( e^t cdot e^3t cdot (-e^-t) ) dt , e^3t cdot e^-t cdot e^t = e^3t - t + t = e^3t , 3e^t cdot e^-t cdot e^3t = 3e^t - t + 3t = 3e^3t , e^t cdot e^3t cdot (-e^-t) = -e^t + 3t - t = -e^3t , e na integral original:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 4

Substituindo esses resultados na integral, temos:
integral0^1 ( e^3t - 3e^3t - e^3t ) dt = integral0^1 (-3e^3t) , dt
Agora, vamos integrar:
-3 integral0^1 e^3t , dt = -3 [ e^3t3 ]0^1 = - ( e^3 - e^0 ) = -(e^3 - 1) = 1 - e^3

Resposta

A integral vale .

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