Para cada EDO autônoma, esboce o gráfico de versus x , determine os pontos de equilibrio e classifique-os em assintoticamente estável ou instável, desenhe o retrato de fase e esboce varios gráficos das soluções no plano tx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) autônoma, que é uma equação onde a derivada de depende apenas de e não explicitamente de . Aqui, temos a EDO:
Nosso objetivo será:
  1. Esboçar o gráfico de versus .
  2. Determinar os pontos de equilíbrio.
  3. Classificar esses pontos como assintoticamente estáveis ou instáveis.
  4. Desenhar o retrato de fase.
  5. Esboçar vários gráficos das soluções no plano .
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos ocorrem quando , ou seja, quando .
Dada a equação:
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a função a zero:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de equilíbrio são , e .

Passo 3

Agora, vamos classificar esses pontos de equilíbrio como assintoticamente estáveis ou instáveis. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada da função em cada ponto de equilíbrio.
Primeiro, encontramos a derivada de :
Vamos calcular:
Usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Simplificando:
Agora, avaliamos em cada ponto de equilíbrio.
  1. Para :
Como a derivada é positiva, o ponto é instável.
  1. Para :
Como a derivada é negativa, o ponto é assintoticamente estável.
  1. Para :
Como a derivada é positiva, o ponto é instável.

Passo 4

Vamos esboçar o gráfico de versus . A função dada é:
Primeiro, notamos que é um polinômio de terceiro grau, então seu gráfico terá uma forma semelhante a uma curva que pode cruzar o eixo até três vezes.
Como já sabemos os pontos onde , que são , , e , podemos marcar esses pontos no gráfico. Além disso, observamos que:
  • Para , se substituirmos, digamos, , teremos (negativo).
  • Entre e , por exemplo, : (positivo).
  • Entre e , por exemplo, : (negativo).
  • Para , por exemplo, : (positivo).
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico, sabendo onde a função está acima ou abaixo do eixo .

Passo 5

Vamos desenhar o retrato de fase. Esse retrato mostra como as soluções se comportam ao longo do tempo para diferentes valores iniciais de .
Sabemos que:
  • Em e , os pontos são instáveis, então as soluções próximas a esses pontos afastam-se deles.
  • Em , o ponto é assintoticamente estável, então as soluções próximas a esse ponto aproximam-se dele.
No retrato de fase:
  • Para , as soluções descem (o que não interessa muito aqui, já que ).
  • Entre e , as soluções se movem em direção a .
  • Entre e , as soluções também se movem em direção a .
  • Para , as soluções se afastam de e continuam aumentando.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar vários gráficos das soluções no plano . Esses gráficos mostram como varia com o tempo para diferentes condições iniciais .
  • Para : permanece em para todo .
  • Para : aumenta em direção a conforme aumenta.
  • Para : permanece em para todo .
  • Para : diminui em direção a conforme aumenta.
  • Para : aumenta sem limite conforme aumenta.
Esses comportamentos refletem a estabilidade dos pontos de equilíbrio que classificamos anteriormente.

Resposta

Seguindo esses passos, determinamos que os pontos de equilíbrio são e (instáveis) e (assintoticamente estável). O retrato de fase mostra que as soluções convergem para quando e divergem para quando . Os gráficos das soluções no plano ilustram esses comportamentos conforme descrito.

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