Para cada EDO autônoma, esboce o gráfico de
versus x , determine os pontos de equilibrio e classifique-os em assintoticamente estável ou instável, desenhe o retrato de fase e esboce varios gráficos das soluções no plano tx.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) autônoma, que é uma equação onde a derivada de
depende apenas de
e não explicitamente de
. Aqui, temos a EDO:
Nosso objetivo será:
- Esboçar o gráfico de
versus . - Determinar os pontos de equilíbrio.
- Classificar esses pontos como assintoticamente estáveis ou instáveis.
- Desenhar o retrato de fase.
- Esboçar vários gráficos das soluções no plano
.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio. Esses pontos ocorrem quando
, ou seja, quando
.
Dada a equação:
Para encontrar os pontos de equilíbrio, igualamos a função a zero:
Resolvendo essa equação, temos:
Então, os pontos de equilíbrio são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos classificar esses pontos de equilíbrio como assintoticamente estáveis ou instáveis. Para isso, vamos analisar o sinal da derivada da função
em cada ponto de equilíbrio.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Vamos calcular:
Usando a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Simplificando:
Agora, avaliamos
em cada ponto de equilíbrio.
- Para
:
Como a derivada é positiva, o ponto
é instável.
- Para
:
Como a derivada é negativa, o ponto
é assintoticamente estável.
- Para
:
Como a derivada é positiva, o ponto
é instável.
Passo 4
Vamos esboçar o gráfico de
versus
. A função dada é:
Primeiro, notamos que é um polinômio de terceiro grau, então seu gráfico terá uma forma semelhante a uma curva que pode cruzar o eixo
até três vezes.
Como já sabemos os pontos onde
, que são
,
, e
, podemos marcar esses pontos no gráfico. Além disso, observamos que:
- Para
, se substituirmos, digamos, , teremos (negativo). - Entre
e , por exemplo, : (positivo). - Entre
e , por exemplo, : (negativo). - Para
, por exemplo, : (positivo).
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico, sabendo onde a função está acima ou abaixo do eixo
.
Passo 5
Vamos desenhar o retrato de fase. Esse retrato mostra como as soluções se comportam ao longo do tempo para diferentes valores iniciais de
.
Sabemos que:
- Em
e , os pontos são instáveis, então as soluções próximas a esses pontos afastam-se deles. - Em
, o ponto é assintoticamente estável, então as soluções próximas a esse ponto aproximam-se dele.
No retrato de fase:
- Para
, as soluções descem (o que não interessa muito aqui, já que ). - Entre
e , as soluções se movem em direção a . - Entre
e , as soluções também se movem em direção a . - Para
, as soluções se afastam de e continuam aumentando.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar vários gráficos das soluções no plano
. Esses gráficos mostram como
varia com o tempo
para diferentes condições iniciais
.
- Para
: permanece em para todo . - Para
: aumenta em direção a conforme aumenta. - Para
: permanece em para todo . - Para
: diminui em direção a conforme aumenta. - Para
: aumenta sem limite conforme aumenta.
Esses comportamentos refletem a estabilidade dos pontos de equilíbrio que classificamos anteriormente.
Resposta
Seguindo esses passos, determinamos que os pontos de equilíbrio são
e
(instáveis) e
(assintoticamente estável). O retrato de fase mostra que as soluções convergem para
quando
e divergem para
quando
. Os gráficos das soluções no plano
ilustram esses comportamentos conforme descrito.
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