Utilizando os conceitos de Limites Fundamentais, calcule: lim x 0(1+x^2)^1x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre Limites Fundamentais. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam, especialmente quando temos expressões que envolvem potências e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, é legal lembrar que quando temos uma expressão do tipo limx 0(1 + f(x))^g(x) = e^limx 0 f(x) cdot g(x) , e tende a 0 enquanto tende ao infinito, a gente pode usar a propriedade que relaciona isso com a constante . Essa propriedade diz que:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos aplicar essa propriedade na nossa expressão:
limx 0(1 + x^2)^1x^2 = e^limx 0 x^2 cdot 1x^2
Aqui, multiplicamos x^2 cdot 1x^2 = 1 por :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
limx 0 1 = 1
Então, a expressão fica:
e^1 = e

Resposta

O limite solicitado é igual a .

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