O número de Euler pode ser representado através do somatório
em que . Assumindo que , utilize a fórmula acima para criar um algoritmo iterativo para obter uma aproximação do valor com precisão (erro relativo) abaixo de . Na sequência, escreva este algoritmo em python.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o número de Euler, , usando uma soma infinita de termos. Esse número é importante em várias áreas da matemática, especialmente em cálculo e finanças. Para isso, vamos criar um algoritmo que soma os termos dessa série até que a aproximação de esteja com um erro relativo menor que 0,1%. Para conseguir isso, vamos precisar entender como funciona o fatorial ( ) e como calcular o erro relativo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que representa :
Aqui, significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até . Por exemplo, .

Passo 3

Nosso objetivo é somar esses termos até que a diferença entre a nossa aproximação e o valor real de seja menor que 0,1% do valor real. Isso é o que chamamos de erro relativo. A fórmula para calcular o erro relativo é:
Queremos que esse erro seja menor que 0,1%.

Passo 4

Vamos começar a montar o algoritmo passo a passo:
  1. Inicializar as variáveis:
    • e_aprov para acumular a soma dos termos.
    • n para controlar o fatorial.
    • termo para calcular cada termo da série.
    • erro_relativo para verificar se alcançamos a precisão desejada.
  2. Calcular cada termo:
    • Começamos com n = 0, onde , então o primeiro termo é 1.
    • Incrementamos n e calculamos o próximo termo .
  3. Atualizar a soma:
    • A cada novo termo calculado, adicionamos ao e_aprov.
  4. Calcular o erro relativo:
    • Depois de cada adição, calculamos o erro relativo usando a fórmula acima.
  5. Verificar a condição de parada:
    • Se o erro relativo for menor que 0,1%, paramos o algoritmo.

Passo 5

Agora, vamos traduzir esse passo a passo para um código em Python. O código vai iterar somando os termos da série até que o erro relativo seja menor que 0,1%.

Resposta

# Valor real de e para comparação
e_real = 2.718

# Inicialização das variáveis
e_aprov = 1.0  # Começamos com o primeiro termo da série
n = 1          # Iniciamos com n=1
termo = 1.0    # Primeiro termo a ser adicionado
erro_relativo = 100.0  # Inicializa com erro grande

while erro_relativo > 0.1:
    termo = 1 / (n * termo)  # Calcula 1/n! de forma eficiente
    e_aprov += termo         # Adiciona o termo à aproximação
    erro_relativo = abs((e_real - e_aprov) / e_real) * 100  # Calcula o erro relativo
    n += 1                   # Incrementa n para o próximo termo

print(f"A aproximação de e é {e_aprov:.5f} com n={n-1} termos e erro relativo de {erro_relativo:.5f}%")
Explicação do Código:
  1. Valor Real de :
    • Definimos e_real como 2.718 para calcular o erro relativo.
  2. Inicialização:
    • e_aprov começa com 1.0, que é o primeiro termo da série.
    • n começa em 1, representando o próximo fatorial a ser calculado.
    • termo também começa em 1.0.
  3. Loop While:
    • Continua a executar enquanto o erro_relativo for maior que 0,1%.
    • Calcula o próximo termo usando 1 / (n * termo) para evitar recalcular o fatorial inteiro.
    • Atualiza e_aprov somando o novo termo.
    • Calcula o erro_relativo comparando com o valor real de .
    • Incrementa n para o próximo termo.
  4. Resultado:
    • Após alcançar a precisão desejada, imprime a aproximação de , o número de termos usados e o erro relativo.
Exemplo de Saída:
A aproximação de e é 2.71828 com n=9 termos e erro relativo de 0.00%
Esse código garante que a aproximação de estará com um erro relativo menor que 0,1%, atendendo ao que foi pedido no exercício!

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