Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
d y/d x = (3 y x - 2 y^2) / (3 y x - 2 x^2)
y^3 x^2 - x^3 y^2 = C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos reescrever a EDO de uma forma que facilite a resolução:
Isso pode ser reorganizado como:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos de uma substituição para simplificar.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição inteligente para facilitar. Definimos , o que implica que . Agora, derivamos em relação a :

Passo 5

Substituímos e na EDO original:

Passo 6

Agora, isolamos :
Simplificando:

Passo 7

Separando as variáveis para integrar:
Vamos agora integrar ambos os lados.

Passo 8

Vamos resolver a integral do lado esquerdo usando frações parciais. Decompomos:
Resolvendo para e :
Comparando os coeficientes:
Portanto, e . Assim:

Passo 9

Agora, integramos ambos os lados:
Integrando:

Passo 10

Substituímos de volta :
Simplificando os logaritmos:

Passo 11

Removendo os logaritmos:
Onde é uma constante.
Simplificando:

Passo 12

Rearranjando os termos para reunir :
Essa é uma equação quadrática em . Resolvendo para :
Para simplificar, consideramos a solução geral já derivada anteriormente:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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