Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos usar técnicas de substituição e integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos reescrever a EDO de uma forma que facilite a resolução:
Isso pode ser reorganizado como:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos de uma substituição para simplificar.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição inteligente para facilitar. Definimos , o que implica que . Agora, derivamos em relação a :
Passo 5
Substituímos e na EDO original:
Passo 6
Agora, isolamos :
Simplificando:
Passo 7
Separando as variáveis para integrar:
Vamos agora integrar ambos os lados.
Passo 8
Vamos resolver a integral do lado esquerdo usando frações parciais. Decompomos:
Resolvendo para e :
Comparando os coeficientes:
Portanto, e . Assim:
Passo 9
Agora, integramos ambos os lados:
Integrando:
Passo 10
Substituímos de volta :
Simplificando os logaritmos:
Passo 11
Removendo os logaritmos:
Onde é uma constante.
Simplificando:
Passo 12
Rearranjando os termos para reunir :
Essa é uma equação quadrática em . Resolvendo para :
Para simplificar, consideramos a solução geral já derivada anteriormente: