Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:
O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações exatas e possivelmente usar um fator integrante. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma equação da forma
é exata se:
Aqui,
Como
Passo 3
Um jeito comum de encontrar o fator integrante é assumir que ele depende só de
ou só de
. Vamos tentar com fator integrante dependente de
, ou seja,
. Para isso, usamos a condição:
Calculando:
Igualando:
Esse método está complicando, então vamos tentar um fator integrante mais geral usando uma relação que envolve
:
Agora, percebemos que pode ser uma equação homogênea, então vamos tentar uma substituição.
Passo 4
Vamos usar a substituição
. Assim,
e derivando, temos:
Substituindo na EDO original:
Simplificando:
Dividindo tudo por
Distribuindo:
Simplificando:
Passo 5
Isolando os termos com
:
Dividindo ambos os lados por
Vamos reorganizar:
Agora, percebemos que podemos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados.
Passo 6
Vamos integrar o lado esquerdo:
Completa o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:
Integrando:
No lado direito:
Igualando as integrais:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Reorganizando:
Resposta
A solução geral da EDO é: