Para cada EDO a seguir, obtenha a solução geral.
(2 x + 3 y) d x + (y - x) d y = 0
Res.: 4 arctg(1 + y/x) - ln(2x^2 + 2xy + y^2) = C

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é:

O objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações exatas e possivelmente usar um fator integrante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa EDO é exata. Uma equação da forma é exata se:

Aqui, e . Vamos calcular as derivadas parciais:

Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Um jeito comum de encontrar o fator integrante é assumir que ele depende só de x ou só de y. Vamos tentar com fator integrante dependente de x, ou seja, mu(x). Para isso, usamos a condição:

Calculando:

Igualando:
Esse método está complicando, então vamos tentar um fator integrante mais geral usando uma relação que envolve :

Agora, percebemos que pode ser uma equação homogênea, então vamos tentar uma substituição.

Passo 4

Vamos usar a substituição . Assim, e derivando, temos:

Substituindo na EDO original:
Simplificando:

Dividindo tudo por x:
Distribuindo:

Simplificando:

Passo 5

Isolando os termos com :

Dividindo ambos os lados por :
Vamos reorganizar:

Agora, percebemos que podemos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados.

Passo 6

Vamos integrar o lado esquerdo:

Completa o quadrado no denominador:
Agora, a integral fica:

Integrando:
No lado direito:

Igualando as integrais:
Lembrando que , substituímos de volta:

Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Reorganizando:

Resposta

A solução geral da EDO é:

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